WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 


Pages:     | 1 || 3 |

«Геометрическое введение в алгебраическую геометрию Целью этих шести лекций является знакомство с проективной геометрией и классическими ...»

-- [ Страница 2 ] --

( ) (на языке -линейных форм на пространстве это отображение фиксирует вектор в качестве первого аргумента -линейной формы). Применяя его к полной поляризации многочлена ( ) и затем проектируя результат из ( ) обратно в симметрическую степень ( ), мы получаем линейное отображение, которое включается в качестве нижней горизонтальной стрелки в коммутативную диаграмму

–  –  –

когда какие-то аргументов формы равны, а остальные ( ) равны (не важно в каком порядке).

Из полилинейности и симметричности дословно тем же рассуждением, что и формула Ньютона для раскрытия скобок в биноме ( + ), выводится равенство ( +, +, …, + ) = (, ), =

–  –  –

из-за симметричности тензора отображения свёртки из теор. 3.1 не зависят от выбора последовательности индексов, по которым производится свёртка

3.4. Поляризация коммутативных многочленов

–  –  –

!

(3-45) =, … ! ! !

++ = то линейная форма (3-44) будет иметь вид (3-46) !

… ( +) … + = и всего таких форм будет + (количество способов разложить 1 в сумму занумерованных целых неотрицательных слагаемых,, …, ). Отсюда мы получаем, например, критерий представимости многочлена в виде -той степени линейной формы.

Предложение 3.3 Над алгебраически замкнутым полем с char() = 0 однородный многочлен (3-45) тогда и только тогда является -той степенью линейной формы, когда ранг + -матрицы, составленной из коэффициентов линейных форм (3-46), равен единице. В этом случае форма, такая что =, также пропорциональна формам (3-46).

Доказательство. В самом деле, из равенства = вытекает, что Supp() — одномерное пространство, порождённое формой, и тогда все формы (3-46) пропорциональны форме. Наоборот, если все формы (3-46) пропорциональны друг другу, то Supp() — одномерное пространство =, порождённое какой-то формой. Поскольку = тоже одномерно, условие означает, что = для некоторого. Если алгебраически замкнуто, последнее равенство переписывается как = с =.

3.4.3. Многообразие Веронезе (, ) определяется как образ -мерного проективного пространства = ( ) при отображении Веронезе -той степени / ( ) ( ) (3-47) или, что то же самое, как множество всех однородных многочленов степени от переменных, которые являются чистыми -тыми степенями линейных.

Замечание 3.1. Отметим аналогию между многообразиями Веронезе (, ) и многообразиями Грассмана Gr(, ) (см. n 3.6 ниже). С алгебраической точки зрения в обоих случаях речь идёт про многочлены степени от переменных, которые максимально вырождены в том смысле, что они эффективно зависят от минимально возможного числа переменных. В коммутативном случае это минимальное число равно единице, и нас рассматриваемых, как обычно, с точностью до пропорциональности 76 §3 Тензорные заморочки интересуют однородные многочлены степени, которые линейной заменой координат приводятся к виду. В грассмановом случае минимальное число косокоммутирующих переменных, от которых может эффективно зависеть однородный многочлен -той степени, равно, и такой многочлен линейной заменой координат приводятся к виду.

Следствие 3.1 Образ вложения Веронезе (3-47) является проективным алгебраическим многообразием, задаваемым системой квадратных уравнений — равенством нулю всех 2 2 миноров + матрицы, составленной из коэффициентов линейных форм (3-46).

Например, однородный многочлен от двух переменных (, ) = = тогда и только тогда имеет вид ( + ), когда

–  –  –

на коэффициенты многочлена, и в этом случае ( ) = ( + ) для любого, Такого что + 0.

3.4.4. Поляры и касательные к проективной гиперповерхности. Рассмотрим проективную гиперповерхность (), заданную однородным уравнением () = 0 степени. Пересечение с произвольной прямой = () состоит из таких точек +, что отношение ( ) удовлетворяет уравнению (, ) = 0, которое получается подстановкой = + в уравнение гиперповерхности () = 0. Если основное поле алгебраически замкнуто, и прямая не лежит на целиком (что означало бы тождественное обращение (, ) в нуль), то пересекает в конечном наборе точек,, …,, причём если учитывать каждую из них с надлежащей кратностью, то сумма этих кратностей будет равна. Для этого кратность пересечения поверхности с прямой в точке = ( ) надо определить как показатель, с которым линейный множитель

det = ( )

входит в разложение (, ) = ( ) однородного многочлена (, ) на линейные множители.

Показатель называется локальным индексом пересечения поверхности с прямой в точке и обозначается (, ). Прямая называется касательной к в точке, если (, ) 2 или.

3.4. Поляризация коммутативных многочленов

–  –  –

являются частные производные от, вычисленные в точке, так что особость равносильна занулению в всех частных производных от уравнения гиперповерхности. В этом случае любая проходящая через прямая имеет с как минимум двукратное пересечение в, и касательное пространство, понимаемое как объединение всех прямых, касающихся в точке, совпадает со всем пространством ().

Если — гладкая точка на или любая точка вне, то замыкание множества точек касания с всевозможных касательных, опущенных на из точки образует на поверхности фигуру, называемую контуром поверхности, видимым из точки. Видимый контур высекается из полярной к относительно гиперповерхностью (1)-й степени

–  –  –

Как и в симметрическом случае, полная поляризация индуцирует двойственность между пространствами грассмановых многочленов на двойственных пространствах, при которой результатом спаривания между многочленами

–  –  –

по определению считается полная свёртка их полных поляризаций,.

Упражнение 3.24. Покажите, что результатом спаривания двух базисных грассмановых мономов = и = от двойственных базисных векторов пространств и (оба набора индексов и строго возрастают) является 1/!, если =, и нуль во всех остальных случаях.

3.5.1. Частные производные в грассмановой алгебре. Рассмотрим отображение

–  –  –

сопоставляющее грассманову многочлену проекцию во внешнюю алгебру тензора, получающегося свёрткой по первому тензорному сомножителю полной поляризации c вектором. Оно включается в коммутативную диаграмму

–  –  –

горизонтальные стрелки которой суть проекции во внешнюю алгебру (отображения факторизации по соотношениям антикоммутирования), а верхняя горизонтальная стрелка — свёртка первого тензорного сомножителя с вектором. По аналогии с симметрическим случаем, определим грассманову производную кососимметричного многочлена в направлении вектора формулой

deg pl.

3.5. Поляризация грассмановых многочленов

Из билинейности pl по и мы сразу же получаем, что производная в направлении вектора = является линейной комбинацией частных производных вдоль базисных векторов:

=.

Если не зависит от, из определений очевидно, что = 0. Поэтому ненулевой вклад в производную от базисного монома = дадут только дифференцирования,, …,. Из формулы (3-50) вытекает, что = …

–  –  –

Иначе говоря, дифференцирование грассманова монома по направлению -той слева входящей в него переменной ведёт себя как (1) /.

Удобно воспринимать это явление как грассманово правило Лейбница:

Упражнение 3.25. Докажите, что грассмановы частные производные удовлетворяют грассманову правилу Лейбница: ( ) = () + (1)deg ().

Поскольку (,,, …, ) = (,,, …, ) операции pl и pl антикоммутируют относительно композиции: pl pl = pl pl. Поэтому грассмановы частные производные также антикоммутируют: =. В частности, 0 для любых и.

3.5.2. Линейный носитель грассманова многочлена определяется как минимальное подпространство, такое что, и обозначается Supp(). Очевидно, что носитель совпадает с носителем поляризации, который по теор. 3.1 является образом отображения ( ), задаваемого полной свёрткой с тензором.

В виду кососимметричности тензора различные отображения свёртки из теор. 3.1 отличаются друг от друга лишь знаком, и поэтому неважно, какую из свёрток взять. Итак, линейный носитель грассманова многочлена степени порождается векторами = …, где = и = (,, …, ) пробегает всевозможные наборы из ( 1) попарно различных индексов. Если разложить в сумму мономов = = … …

–  –  –

(коэффициенты … кососимметричны по индексам,, …, ), то вклад в дадут только мономы с. В результате, с точностью до общего знака, мы получим (3-51) = ±.

–  –  –

Доказательство. Первое условие означает, что многочлен лежит в самой старшей внешней степени dim Supp( ) своей линейной оболочки Supp().

Его равносильность второму условию вытекает из следующего общего факта:

Упражнение 3.26. Докажите, что тогда и только тогда однороден степени dim, когда = 0 для всех.

Соотношение Плюккера — это координатная запись второго условия для вектора из формулы (3-51), констатирующая обнуление коэффициента при + в. Поскольку векторы (3-51) линейно порождают пространство Supp(), соотношений Плюккера достаточно для выполнения второго, а с ним и первого условий предложения.

Упражнение 3.27. Выпишите соотношения Плюккера для грассмановой квадратичной формы от четырёх переменных и выведите из них, что такая форма тогда и только тогда является произведением двух линейных, когда = 0.

3.6. Многообразия Грассмана. Грассманиан Gr(, ) = Gr(, ) определяется как множество всех -мерных векторных подпространств в данном -мерном векторном пространстве. На проективном языке, Gr(, ) есть множество всех ( 1)-мерных проективных подпространств в. Алгебраически, грассманианы являются суперкоммутативными аналогами многообразий Веронезе (см. зам. 3.1.). Простейшими примерами грассманианов являются проективные пространства:

–  –  –

(подпространство коразмерности 1 задаётся одним линейным уравнением с точностью до пропорциональности). Вообще, двойственность Ann задаёт каноническое отождествление Gr(, ) Gr(, ).

Упражнение 3.28. Пусть dim = 4. Всякая невырожденная квадрика () определяет поляритет, который, в свою очередь, задаёт автоморфизм грассманиана Gr(2, 4) действующий по описанному выше правилу Ann (). Покажите, что этот автоморфизм отображает -плоскости в -плоскости и наоборот.

3.6.1. Плюккерово вложение. Грассманиан Gr(, ) вкладывается в ( ) при помощи отображения Плюккера

–  –  –

которое переводит -мерное подпространство в одномерное подпространство. Если порождается векторами {,, …, }, то с точностью до пропорциональности () = — переход к другому базису в, скажем к =,

–  –  –

Предложение 3.5 Отображение Плюккера (3-52) вкладывает грассманиан в проективное пространство в качестве алгебраического многообразия, задаваемого квадратичными соотношениями (3) из предл. 3.4.

Доказательство. Если подпространство имеет базис,, …,, то отображение Плюккера переведёт его в класс пропорциональности грассманова многочлена.

Поэтому образ отображения Плюккера состоит из всех разложимых однородных грассмановых форм степени, т. е. является пересечением квадрик из п. (3) предл. 3.4. С другой стороны, отображение Плюккера инъективно, поскольку при в имеется базис,, …,,,, …,,,, …,,,, …,, + в котором,, …, образуют базис пересечения, а

–  –  –

составляют базисы в и, так что отображение Плюккера сопоставляет им различные базисные мономы

–  –  –

3.6.2. Плюккеровы координаты. На координатном языке, если зафиксировать в базис {,, …, }, точку Gr(, ) можно представлять ( )-матрицей, строки которой являются координатами какого-либо набора векторов {,, …, }, порождающих. Разумеется, такое представление не единственно: выбору другой системы образующих {,, …, } в будет отвечать другая матрица =, получающаяся из умножением слева на невыродленную квадратную -матрицу перехода. Таким образом, грассманиан Gr(, ) представляет собой фактор пространство пространства Mat () по действию GL () умножениями слева, точно также как является фактор пространством пространства координатных строк по действию группы гомотетий GL () =. Матрица является, таким образом, прямым аналогом однородных координат.

Упражнение 3.29. Убедитесь, что на координатном языке плюккерово вложение сопоставляет ( )-матрице набор всех её ( )-миноров и эквивариантно в том смысле, что при умножении справа на GL все ( )-миноры умножатся на одну и ту же константу det.

3.6.3. Стандартное аффинное покрытие и аффинные координаты. Аналогом той стандартной аффинной карты проективного пространства = Gr(1, ) на произвольном грассманиане Gr(, ) является множество всех подпространств, матрица которых содержит невырожденную ( )-подматрицу, в столбцах c номерами = (,, …, ), так что умножая слева на =, GL, можно сделать эту подматрицу единичной. Множество является полным прообразом относительно плюккерова вложения (3-52) стандартной аффинной карты ( ), в которой отлична от нуля -тая координата (вдоль вектора = ).

Иначе можно сказать, что, состоит из всех, которые изоморфно проектируются на -тое координатное подпространство в, натянутое на базисные векторы,, …,, вдоль всех остальных базисных векторов с.

В качестве системы образующих такого подпространства можно взять прообразы базисных векторов,, относительно упомянутой проекции. Соответствующая матрица как раз и будет содержать единичную подматрицу в -столбцах. Таким образом, такая матрица однозначно определяется по. Мы будем обозначать её () и использовать ( ) её матричных элементов () с (стоящих вне столбцов (,, …, ) в ()) в качестве аффинных координат в карте Gr(, ). Карты называются стандартными и покрывают весь Gr(, ), когда пробегает все возрастающие подмножества длины в {1, 2, …, }.

Упражнение 3.30. Если вы знакомы с основными понятиями дифференциальной топологии, проверьте, что действительные и комплексные грассманианы являются гладкими (более того, аналитическими) многообразиями.

–  –  –

3.6.4. Клеточное разбиение. Метод Гаусса для решения систем линейных однородных уравнений показывает, что любое подпространство порождается единственным набором векторов {,, …, }, матрица координат которого имеет строгий ступенчатый вид (такой, что в столбцах, содержащих углы ступенек, стоит единичная ( )-подматрица).

Упражнение 3.31. Докажите, что различные строго ступенчатые матрицы действительно задают разные подпространства в.

Таким образом, мы имеем биекцию между Gr(, ) и множеством всех строго ступенчатых ( ) – матриц. Последнее является дизъюнктым объединением непересекающихся аффинных пространств, т. к. все ступенчатые матрицы с фиксированной формой ступенек образуют аффинное пространство, размерность которого равна числу «свободных» клеток, не занятых «обязательными» нулями и единицами, предписанными данной формой ступенек.

Форма ступенек однозначно определяется возрастающим набором = (,, …, ) номеров столбцов, в которых располагаются углы ступенек. В частности, имеется ровно разных форм ступенек. Строго ступенчатая матрица с данной формой ступенек имеет ( ) клеток вне единичной подматрицы, стоящей в -столбцах, и в левой части -той строки есть ещё «обязательных» нулей, стоящих вне этой единичной подматрицы, Таким образом, матрица с формой ступенек имеет ( + 1) ( ) ( ) = dim Gr(, ) || = «свободных клеток», т. е. соответсвующий страт грассманиана представляет собой аффинное пространство коразмерности || ( + 1)/2.

Другим общепринятым способом описания формы ступенек являются диаграммы Юнга, или разбиения. Сопоставим ступенчатой матрице неубывающую последовательность неотрицательных целых чисел (,, …, ), в которой число указывает на сколько клеток угол ступеньки, стоящей в -той считая снизу строке, сдвинут вправо от самого левого возможного своего положения. Таким образом, углы ступенек в матрице типа = (,, …, ) находятся в столбцах с номерами = ( + 1 ) + +.

Диаграммы Юнга обычно рисуют в виде выровненных по левому краю клетчатых полосочек, длины которых равны последовательным элементам соответствующего разбиения, например:

(4, 4, 2, 1) На грассманиане Gr(4, 10) этой диаграмме отвечает 13-мерное аффинное пространство строго ступенчатых матриц вида

–  –  –

нулевому разбиению (0, 0, 0, 0) отвечает самое левое из всех возможных положений ступенек, которое описывает 24-мерное пространство матриц вида 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

–  –  –

мкнутым) циклом Шуберта.

Пример 3.9 (гомологии комплексных грассманианов) Над полем циклы Шуберта образуют свободный базис группы целочисленных гомологий (, ) (Gr(, ), ), поскольку построенное нами клеточное разбиение не содержит клеток нечётных (вещественных) размерностей, и все граничные операторы клеточного цепного комплекса будут нулевыми.

Упражнение 3.33. Опишите из каких клеток состоит замыкание данной клетки и попытайтесь точно вычислить граничный оператор клеточного цепного комплекса на вещественном грассманиане Gr(, ).

Топологическое пересечение циклов задаёт на -модуле (, ) структуру коммутативного кольца. В частности, гомологический класс пересечения циклов Шуберта можно явно представить в виде целочисленной линейной комбинации циклов Шуберта. В общем случае ответ даётся в виде набора довольно нетривиальных комбинаторных правил преобразования диаграмм, который известен как исчисление Шуберта. Говоря формально, число || = обычно называют весом диаграммы ; множество всех диаграмм данного веса описывает все способы разбить в сумму неупорядоченных целых неотрицательных слагаемых, откуда и происходит термин «разбиение»

см. книги: W. Fulton Young Tableaux (CUP, LMS Stud. Texts 35), Ф. Гриффитс, Дж. Харрис Принципы алгебраической геометрии, I (Мир, 1982), У. Фултон Теория пересечений (Мир, 1989), И. Макдоналд Симметрические функции и многочлены Холла (Мир, 1985) Задачи к §3 кольцо (, ) изоморфно усечённому кольцу симметрических многочленов — фактору (, ) = [,, …, ]/(, …,, ) + где через обозначен -тый элементарный симметрический многочлен, а через — тый полный симметрический многочлен, который, согласно основной теореме об элементарных симметрических функциях, является многочленом от. Циклу Шуберта при этом изоморфизме отвечает класс (по модулю ()) симметрического многочлена Шура (выраженного в виде многочлена от ). Однако доказательство этого, а главное, явное описание соответствующих правил разложения одних многочленов через другие, увело бы нас далеко за рамки этого курса (см. цитированные выше книги). Вместо этого мы, в качестве иллюстрации, явно вычислим кольцо пересечений грассманиана Gr(2, 4).

Упражнение 3.34. Проверьте, что 6 циклов Шуберта на квадрике Плюккера Gr(2, 4) суть: = ; = = (0 0 0 0 0 1) ; = ; = (), где = (0 0 0 1) ; = (), где задано уравнением = 0;

= () ().

Очевидно, что циклы, суммарная коразмерность которых меньше четырёх, имеют нулевые пересечения. Пересечение циклов дополнительной размерности уже было вычислено нами в n 2.6.1 и упр. 2.21: = = =, и = 0. Те же геометрические соображения показывают, что = =. Для вычисления реализуем как () = () = { | }.

Тогда гомологичен пересечению () ( ), которое при общем положении пары прямых, представляет собой неособую квадрику Сегре с рис. 211. Однако если продеформировать прямую так, чтобы она стала пересекаться с, эта квадрика продеформируется в своём классе гомологий в пару пересекающихся плоскостей — -связку с центром = и -связку в плоскости, натянутой на и : () ( ) = () (), т. е. = +.

Например, мы получаем ещё одно, «топологическое» решение задачи о том, сколько прямых пересекает заданные 4 попарно скрещивающиеся прямые в : если данные 4 прямые находятся в достаточно общем положении (таком, что пересечение циклов ( ) вычисляет четырёхкратным самопересечением ), ответ находится формальным вычислением в (2, 4):

= ( + ) = + = 2 что означает, что есть ровно 2 таких прямых.

–  –  –

= + + + Задача 3.3. Рассмотрим корреляцию End() End(), которая переводит вектор End() в линейную форму End(), значение которой на разложимом операторе End() равно ( ) (). Какой билинейной форме на Hom(, ) отвечает эта корреляция? Вырождена ли эта форма? Симметрична ли она?

Какая квадратичная форма ей соответствует? Напишите формулу, вычисляющую значение этой формы на операторах и, используя только буквы и и операции над матрицами (не прибегая к выбору базисов и рассмотрению матричных элементов).

Задача 3.4.

Постройте для конечномерных пространств,, канонические изоморфизмы а) ( ) б) Hom(Hom(, ), ) Hom(, ) Задача 3.5. Покажите, что для любых конечномерных векторных пространств, над произвольным полем пространства

Hom Hom(, ),, End Hom(, ), Hom, Hom(, )

канонически изоморфны друг другу и выясните, какому эндоморфизму пространства Hom(, ) отвечает при этом изоморфизме отображение Hom(, ), действующее на разложимые тензоры по правилу ( ) = (). Верно ли, что оператор Hom(, ), который соответствует оператору, всегда инъективен?

Задача 3.6.

Ддля любых конечномерных векторных пространств,, постройте канонический изоморфизм пространства End( ) с пространством

Hom Hom(, ) Hom(, ), Hom(, )

и выясните, какому линейному отображению Hom(, ) Hom(, ) Hom(, ) отвечает тождественный эндоморфизм пространства.

Задача 3.7.

Явно предъявите тензор, не являющийся суммой кососимметричного и симметричного.

Задача 3.8.

Найдите размерность пространства 3-линейных форм, удовлетворяющих,, условиям: а) (,, ) = (,, ) = (,, ) б) (,, ) = (,, ) в) (,, ) = (,, ) = 0 г) (,, ) = 0 д) (,, ) + (,, ) + (,, ) = 0 е) (,, ) = (,, ) Задача 3.9. Для любых, проверьте, что а) = ( ) в Задачи к §3 б) = ( ) в.

Задача 3.10.

Покажите, что подпространство sym из (3-18), порождающее идеал соотношений коммутирования в, и подпространство skew из (3-21), порождающее идеал соотношений антикоммутирования в тензорной алгебре двойственного к пространства, являются аннуляторами друг друга при каноническом спаривании между и, задаваемом полной свёрткой.

Задача 3.11.

Выберем какой-нибудь базисный вектор в одномерном пространстве (где = dim ) и зададим между пространствами и, такими что + =, спаривание, правилом

–  –  –

а) покажите, что это спаривание невырождено для всех и с + =

б) выясните, как устроен оператор, двойственный относительно этого спаривания к оператору левого внешнего умножения на данный вектор :

+.

–  –  –

внешние степени матриц и.

Задача 3.17.

Обозначим через = ( ) множество всех вырожденных квадрик на = (). Покажите, что

а) является алгебраической гиперповерхностью, и точка является неособой точкой поверхности тогда и только тогда, когда соответствующая квадрика имеет единственную особую точку

б) касательная гиперплоскость в такой неособой точке состоит из всех квадрик на, проходящих через особую точку квадрики.

Задача 3.18. Найдите все особые точки следующих трёх кривых на = ( ):

а) ( + + ) = 27 б) + = + в) ( + 1) = ( + 1) (последние две кривые заданы аффинным уравнением в стандартной карте и речь в задаче идёт про их проективные замыкания).

Задача 3.19.

Напишите явную рациональную параметризацию квартики ( + ) + 3 + = 0, в (), воспользовавшись проекцией из особой точки на какую-нибудь прямую.

Задача 3.20 (комплексы Кошуля и Де Рама).

Фиксируем в базис,, …, и обозначим через и классы вектора в симметрической и внешней алгебре соответственно. Покажите, что а) операторы + + = (3-53) = не зависят от выбора базиса и имеют = 0 и = 0

б) оператор + действует на как ( + ) Id.

в) Вычислите ker /im и ker /im Задача 3.21 (грассманова экспонента). Над полем любой характеристики для разложимого положим 1 + и продолжим это определение на разложимые грассмановы многочлены правилом =. Покажите, что

а) определение корректно (не зависит ни от способа представления в виде суммы разложимых мономов, ни от порядка расположения сомножителей в стоящем в правой части грассмановом произведении)

б) экспоненциальное отображение even even является инъективным гомоморфизмом из аддитивной группы всех чётных грассмановых многочленов в мультипликативную группу чётных грассмановых многочленов со свободным членом 1.

Задача 3.22.

Выполняется ли в условиях предыдущей задачи над полем характеристики т. е. матрицы операторов, индуцированных операторами и на пространствах однородных грассмановых многочленов от базисных векторов степеней и соответственно (см. зад. 3.29);

матричные элементы этих матриц суть миноры порядков и матриц и, занумерованные так, чтобы дополнительные миноры имели одинаковые номера Задачи к §3 нуль равенства: а) = б) = !

Задача 3.23.

Выясните, разложима ли грассманова кубическая форма от четырёх переменных + 2 + 4 + 3 (если да, то напишите какое-нибудь из разложений явно, если нет — объясните, почему).

Задача 3.24 (тензорное произведение операторов).

Пусть между векторными пространствами,, …, и,, …, действуют линейные операторы

а) Покажите, что существует единственный линейный оператор действующий на разложимые тензоры по правилу ( ) ( ) ( )

–  –  –

Задача 3.26.

Вычислите собственные числа всех тензорных степеней диагонализуемого линейного оператора с собственными числами,, …,.

Задача 3.27.

Дан конечный набор,, …, ненулевых линейных операторов на произвольном векторном пространстве над любым полем. Можно ли подобрать ненулевые константы,, …, так, чтобы + + + = 0.

Задача 3.28.

В условиях зад. 3.26 выразите через коэффициенты характеристического многочлена оператора величины а) tr б) tr в) det г) det

д) след и определитель оператора на Hom(, )

е) след и определитель оператора () на.

Задача 3.29.

Убедитесь, что всякий линейный оператор корректно индуцирует операторы и, действующие на разложимые тензоры по правилам ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )

–  –  –

и убедитесь, что над полем для всех достаточно малых комплексных оно выполняется также и численно.

§4. Аффинная алгебраическая геометрия

4.1. Порция коммутативной алгебры. Всюду в этом параграфе слово «кольцо» означает по умолчанию коммутативное кольцо с единицей, а гомоморфизмы колец всегда предполагаются отображающими единицу в единицу.

4.1.1. Нётеровость. Любое множество элементов коммутативного кольца порождает в идеал (), состоящий из всевозможных конечных сумм + + +, в которых, а. Как -модуль, идеал () представляет собою -линейную оболочку элементов множества.

Для произвольного идеала элементы,, …, называются образующими этого идеала, если = (,, …, ), т. е.,, …, линейно порождают как модуль. Коммутативное кольцо называется нётеровым, если каждый его идеал допускает конечное множество образующих.

Условие нётеровости можно переформулировать несколькими равносильными способами:

Лемма 4.1

Следующие свойства коммутативного кольца попарно эквивалентны:

(1) любое множество элементов содержит некоторое конечное подмножество, порождающее тот же идеал, что и (2) любой идеал в допускает конечное множество образующих (3) для любой бесконечной цепочки вложенных идеалов существует такое, что =.

Доказательство. Ясно, что (1) (2). Для доказательства импликации (2) (3) заметим, что объединение = всех идеалов возрастающей цепочки также является идеалом, и стало быть линейно порождается над конечным числом элементов,, …,. Все эти элементы содержатся в некотором идеале из цепочки. Следовательно, = =. Чтобы вывести (1) из (3), рассмотрим цепочку идеалов = (,, …, ), которая строится по индукции следующим образом: в качестве возьмём произвольный элемент множества. При 1 и () (,, …, ) в качестве возьмём любой элемент из, не лежащий в (,, …, ). Тогда идеалы будут строго возрастать, что в силу (3) не может продолжаться бесконечно, т. е. на каком-то шагу мы столкнёмся с включением (,, …, ) и равенством () = (,, …, ).

Теорема 4.1Если нётерово, то кольцо многочленов [] также нётерово.

Доказательство. Рассмотрим произвольный идеал [] и обозначим через множество старших коэффициентов всех многочленов степени из, объединённое с нулём, а через = — множество старших коэффициентов вообще всех многочленов из, также объединённое с нулём.

Упражнение 4.1. Убедитесь, что все (включая ) являются идеалами в.

92 §4 Аффинная алгебраическая геометрия

–  –  –

Следствие 4.1 Если нётерово, то [,, …, ] тоже нётерово.

Упражнение 4.2. Покажите, что фактор кольцо нётерова кольца нётерово.

Замечание 4.1. Подкольцо нётерова кольца не обязательно является нётеровым. Так, заменяя в доказательстве теор. 4.1 старшие члены на младшие, нетрудно убедиться, что кольцо формальных степенных рядов [[]] с коэффициентами в нётеровом кольце тоже нётерово. В частности, кольцо [[]] нётерово. Однако его подкольцо, образованное рядами, сходящимися всюду в, нётеровым не является (см. зад. 4.5 на стр. 114).

4.1.2. Целые элементы. Рассмотрим пару вложенных колец. Элемент называется целым над, если он удовлетворяет условиям лем. 4.2.

–  –  –

(2) -линейная оболочка всех целых неотрицательных степеней, 0, линейно порождается над конечным числом элементов;

(3) существует конечно порождённый -подмодуль, такой что и для каждого из = 0 вытекает, что = 0 (это последнее условие иногда называют -точностью подмодуля )

4.1. Порция коммутативной алгебры

–  –  –

(4-1) (,, …, ) = (,, …, ).

Матричное тождество det =, где — любая квадратная матрица, — присоединённая к ней матрица, а — единичная матрица того же размера, показывает, что образ оператора умножения на det содержится в линейной оболочке столбцов матрицы. В частности, образ оператора умножения всех элементов модуля на число det( ) лежит в линейной оболочке векторов (,, …, ) ( ), которая равна нулю в силу (4-1). Поэтому det( ) = 0, а т. к. -точен, то и det( ) = 0. Поскольку все элементы матрицы лежат в, соотношение det( ) = 0 имеет вид, требуемый в условии (1).

Определение 4.1 Множество всех, целых над данным подкольцом, называется целым замыканием в. Если оно не содержит ничего, кроме элементов самого, то называется целозамкнутым в. Наоборот, если все целы над, то называется целым расширением кольца или целой -алгеброй.

Предложение 4.1 Целое замыкание любого подкольца является подкольцом в. Для любого кольца всякий элемент, целый над, цел и над.

–  –  –

Следствие 4.2 (лемма Гаусса – Кронекера – Дедекинда) Пусть — произвольное расширение коммутативных колец, и, [] — приведённые многочлены положительной степени. Тогда все коэффициенты произведения () = ()()

–  –  –

Доказательство. Если коэффициенты и целы над, то коэффициенты тоже целы над, так как целые элементы образуют кольцо. Чтобы показать обратное, рассмотрим какое-нибудь кольцо, над которым и полностью разлагаются на линейные множители: () = ( ) и () = ( ) для некоторых,. Если все коэффициенты () = ( ) ( ) целы над, то, целы над целым замыканием в, а значит и целы и над самим. Поскольку коэффициенты и являются многочленами от и, они тоже целы над.

Пример 4.1 ( целозамкнуто в ) Если дробь c взаимно простыми, такова, что = + + +

–  –  –

В частности, у любого конечномерного как векторное пространство над поля всегда можно выбрать базис над, состоящий из целых алгебраических чисел.

такое кольцо можно построить индукцией по deg : если 1, то вкладывается в фактор кольцо = []() как подкольцо классов констант, и поскольку класс = (mod ) является корнем, то () = ( ) () в [], и либо = 1, либо по индукции = ( ) над некоторым кольцом понимаемое как векторное пространство над полем

4.1. Порция коммутативной алгебры Пример 4.3 (инварианты конечной группы) Пусть конечная группа действует на кольце кольцевыми автоморфизмами,.

Подкольцо { | = } называется кольцом инвариантов действия на. Если -орбита элемента состоит из элементов =,,, …,, то элемент является корнем приведённого многочлена () = ( ) [].

Таким образом, цело над подкольцом инвариантов.

Предложение 4.2 Пусть кольцо цело над подкольцом. Если — поле, то также является полем.

Наоборот, если — поле, и в нет делителей нуля, то — поле.

Доказательство. Если — поле, целое над, то обратный элемент к произвольному ненулевому удовлетворяет уравнению +, = + +.

–  –  –

это наименьшая по включению подалгебра в, содержащая поле и элемент. Она состоит из всех элементов, которые можно получить из и элементов поля конечным числом сложений и умножений.

Если элемент алгебраичен, подалгебра [] конечномерна как векторное пространство над и dim [] = deg. Если к тому же в [] нет делителей нуля, то по предл. 4.2 алгебра [] является в этом случае полем.

Если элемент не алгебраичен, он называется трансцендентным над. В этом случае гомоморфизм вычисления (4-2) является изоморфизмом между [] и кольцом многочленов []. В частности, подалгебра [] при этом не является полем и бесконечномерна как векторное пространство над.

Теорема 4.2 Конечно порождённая -алгебра может быть полем только при условии, что все её элементы алгебраичны над, и в этом случае она конечномерна как векторное пространство над.

Доказательство. Пусть порождается элементами,, …, и является полем. Доказывать алгебраичность будем индукцией по. Случай = 1, = [ ] уже был разобран выше. Пусть 1. Если алгебраичен над, то [ ] — поле и алгебраично над [ ] по предположению индукции. Тогда по предл. 4.1 алгебра алгебраична и над.

Поскольку она получается последовательным присоединением к конечного числа алгебраических элементов,, …,, алгебра конечномерна как векторное пространство над. Остаётся показать, что элемент и в самом деле алгебраичен над.

Если трансцендентен, то гомоморфизм (4-2) продолжается до изоморфизма поля рациональных функций () с наименьшим подполем ( ), содержащим. Тогда по предположению индукции алгебра алгебраична над ( ), и каждая из образующих,, …, удовлетворяет некоторому полиномиальному уравнению с коэффициентами из ( ). Умножая эти уравнения на подходящие многочлены от, сделаем так, чтобы все их коэффициенты лежали в [ ], а все их старшие коэффициенты стали равны между собою. Обозначим этот общий для всех уравнений старший коэффициент через ( ) [ ]. Поле цело над подалгеброй = [, 1( )], порождённой над элементами и 1( ). По предл. 4.2 эта подалгебра является полем. В частности, элемент 1 + ( ) обратим в, т. е. существует такой многочлен [, ], что, 1( ) (1+( )) = 1. Записывая рациональную функцию, 1() в виде () (), где [] не делится на, и умножая обе части предыдущего равенства на ( ), мы получаем на полиномиальное уравнение ( ) (( ) + 1) = + ( ).

Оно нетривиально, поскольку ()(1 + ()) не делится на () в []. Тем самым, не трансцендентен.

4.1.4. Базисы трансцендентности. Пусть -алгебра не имеет делителей нуля. Мы обозначаем через её поле частных. Для любого набора элементов,, …, мы обозначаем через [,, …, ] наименьшую по включению -подалгебру в,

4.1. Порция коммутативной алгебры содержащую поле и этот набор элементов. Она состоит из всех элементов, что можно получить из,, …, и элементов поля при помощи конечного числа сложений и умножений, т. е. является образом гомоморфизма вычисления

–  –  –

(,, …, ) (,, …, ), переводящего рациональную функцию (,, …, ) в её значение (,, …, ) на элементах.

Элементы,, …, называются алгебраически порождающими, если поле алгебраично (или, что то же самое, цело) над подполем (,, …, ).

Упражнение 4.4. Убедитесь, что чтобы,, …, алгебраически порождали, достаточно, чтобы все были алгебраичны над (,, …, ).

Алгебраически независимый набор элементов,, …,, алгебраически порождающий, называется базисом трансцендентности алгебры над. Любое собственное подмножество базиса трансцендентности алгебраически независимо, однако, не является базисом трансцендентности. Поэтому базис трансцендентности можно иначе определить либо как минимальный по включению набор,, …,, алгебраически порождающий, либо как максимальный по включению алгебраически независимый набор,, …,.

Лемма 4.3 (лемма о замене) Если,, …, алгебраически порождают, а,, …, алгебраически независимы, то и можно перенумеровать так, что набор элементов,, …,,,, …, + + (полученный заменой первых элементов на элементы ) также будет алгебраически порождать.

–  –  –

полиномиальное соотношение (,, …, +, +, +, …, ) = 0, содержащее +, а поскольку,, …, алгебраически независимы, в нём присутствует и какой-нибудь. Поэтому, и мы можем занумеровать оставшиеся так, что + окажется алгебраичен над (,, …, +, +, +, …, ), т. е.,, …, +, +, +, …, будут алгебраически порождать, что воспроизведёт индуктивное предположение.

Следствие 4.4 В конечно порождённой -алгебре без делителей нуля любой набор элементов, алгебраически порождающий, содержит в себе некоторый базис трансцендентности для, а любой набор алгебраически независимых элементов можно дополнить до базиса трансцендентности, причём все базисы трансцендентности состоят из одинакового числа элементов (это число называется степенью трансцендентности алгебры над и обозначается tr deg ).

Упражнение 4.5. Покажите, что следующие условия на конечно порождённую -алгебру без делителей нуля эквивалентны друг другу: а) tr deg = 0 б) = в) — поле г) dim.

4.1.5. Нормальность. Коммутативное кольцо без делителей нуля называется нормальным, если оно целозамкнуто в своём поле частных. Отметим, что любое поле нормально. Дословно как в прим. 4.1 устанавливается, что любое факториальное кольцо нормально — приведённый многочлен + + + + [] не может аннулировать дробь, у которой н.о.д.(, ) = 1 и знаменатель необратим.

Прямо из определений и сл. 4.2 вытекают следующие полезные свойства, отчасти проясняющие эпитет «нормальный».

Предложение 4.3 (лемма Гаусса – 2) Пусть — нормальное кольцо с полем частных. Если многочлен [] раскладывается в [] в произведение приведённых множителей, то эти множители лежат в [].

Лемма 4.4 Пусть = является полем частных коммутативного кольца без делителей нуля.

Если элемент какой-либо -алгебры цел над, то он алгебраичен над и все коэффициенты его минимального многочлена [] целы над.

Доказательство. Поскольку цел над, он удовлетворяет уравнению () = 0, в котором [] приведён. Тем самым, ker ev 0 и = в кольце []. По сл. 4.2 все коэффициенты целы над.

Следствие 4.5 Пусть — нормальное кольцо с полем частных, и — произвольная -алгебра. Если элемент цел над, то его минимальный многочлен над полем лежит в [].

напомним, что кольцо называется факториальным, если в нём нет делителей нуля, и каждый необратимый элемент является произведением конечного числа неприводимых, причём для любых двух разложений = = в произведение неприводимых множителей выполняются равенства = и (после надлежащей перенумерации) = для некоторых обратимых ; например, факториальными являются все кольца главных идеалов и все кольца многочленов [,, …, ] над любым факториальным кольцом

4.2. Системы полиномиальных уравнений

4.2. Системы полиномиальных уравнений. Любая система полиномиальных уравнений (4-4) (,, …, ) = 0, [,, …, ], эквивалентна системе, левые части которой образуют в [,, …, ] идеал = ( ), порождённый многочленами. Эта большая система получается добавлением к уравнениям (4-4) всех уравнений, которые можно получить умножая уравнения (4-4) на произвольные полиномы и складывая их друг с другом. В силу нётеровости кольца многочленов такая большая система, в свою очередь, эквивалентна конечной системе уравнений, левые части которых порождают идеал, причём этот конечный набор уравнений может быть выбран из уравнений первоначальной системы (4-4). Таким образом, любая (в том числе бесконечная) система полиномиальных уравнений равносильна, с одной стороны, некоторой своей конечной подсистеме, а с другой стороны, системе, левые части которой образуют в кольце многочленов идеал.

Множество () { | () = 0 } всех решений системы (4-4), левые части которой пробегают идеал [,, …, ], называется аффинным алгебраическим многообразием, задаваемым идеалом. Отметим, что это множество может оказаться пустым: например, когда = (1) = [,, …, ] содержит уравнение 1 = 0.

Для произвольной фигуры множество всех многочленов, тождественно зануляющихся на, образует в кольце многочленов идеал, который обозначается () = { [,, …, ] | () = 0 }.

Множество нулей (()) этого идеала это наименьшее аффинное алгебраическое многообразие, содержащее.

Для любого идеала [,, …, ] имеется тавтологическое включение (()).

Вообще говоря, это включение строгое. Например, при = 1 для идеала = ( ) многообразие () = {0}, а идеал (()) = () ( ) =.

Теорема 4.3 (Nullstellensatz, или теорема Гильберта о нулях) Для любого идеала [,, …, ] над произвольным алгебраически замкнутым полем справедливы следующие утверждения (1) слабая теорема о нулях: () = 1 ;

–  –  –

Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение, достаточно для каждого собственного идеала [,, …, ] указать точку, в которой зануляются все многочлены из. Поскольку увеличение идеала только усложняет эту задачу, мы без ограничения общности можем считать, что идеал максимален, т. е. любой многочлен обратим по модулю. Действительно, если найдётся необратимый по модулю многочлен, то уравнение + = 1 будет неразрешимо относительно [,, …, ] и, а значит, идеал = (, ) не будет содержать 1, но будет строго больше, чем, так что мы можем расширить до. В силу нётеровости кольца многочленов после конечного числа таких расширений мы получим собственный идеал, такой что [,, …, ] является полем, что мы и будем далее предполагать.

т. е. отличного от всего кольца многочленов 100 §4 Аффинная алгебраическая геометрия Так как поле [,, …, ] конечно порождено как -алгебра, каждый элемент этого поля по теор. 4.2 алгебраичен над, т. е. удовлетворяет уравнению () = 0, где () [] — неприводимый приведённый многочлен. Поскольку поле алгебраически замкнуто, многочлен линеен, т. е. + = 0 для некоторого, откуда =.

Таким образом, [,, …, ] =, т. е. любой многочлен [,, …, ] сравним по модулю идеала с некоторой константой.

Обозначим через = (,, …, ) точку, координаты которой суть константы, с которыми сравнимы по модулю линейные одночлены.

Так как редукция по модулю [,, …, ] [,, …, ] = является гомоморфизмом, константа, с которой сравним по модулю многочлен, равна значению этого многочлена в :

(,, …, ) (,, …, ) (mod ), т. е. гомоморфизм редукции по модулю представляет собою гомоморфизм вычисления значений многочленов в точке. Поэтому () = 0, что и требовалось.

Докажем теперь второе утверждение. Поскольку при = [,, …, ] и () = оно тривиально, мы будем считать, что () и (1). Вложим в большее пространство + с координатами (,,, …, ) в качестве гиперплоскости = 0. Если многочлен [,, …, ] [,,, …, ]

–  –  –

4.2.1. Системы результантов. Рассмотрим систему полиномиальных уравнений (,, …, ) = 0 (,, …, ) = 0 (4-5) (,, …, ) = 0 в которой многочлены,, …, [,, …, ] однородны. Множество ненулевых решений системы (4-5) изображается в проективном пространстве = () с однородными координатами ( … ) проективным алгебраическим многообразием (,, …, ) — пересечением проективных гиперповерхностей = ( ) ().

При фиксированных размерности, числе уравнений и степенях = deg наборы

4.2. Системы полиномиальных уравнений гиперповерхностей (,, …, ) ( ) ( ) ( ) с непустым пересечением образуют в произведении проективных пространств фигуру (;,, …, ) ( ) ( ) ( ) (4-6)

–  –  –

Итак, наличие ненулевых решений у системы (4-5) равносильно обращению в нуль всех максимальных миноров матриц для всех, таких что размерность левой части (4-7) не меньше, чем размерность правой. В силу нётеровости кольца многочленов, эта бесконечная система полиномиальных уравнений эквивалентна некоторой конечной подсистеме, называемой системой результантов.

4.3. Аффинный алгебро-геометрический словарик. Всюду далее мы по умолчанию считаем, что основное поле алгебраически замкнуто.

4.3.1. Регулярные отображения. Аффинные алгебраические многообразия, определённые над полем, образуют категорию, морфизмами в которой являются регулярные отображения. По определению, отображение множеств из аффинного алгебраического многообразия в аффинное алгебраическое многообразие называется регулярным (или полиномиальным), если оно переводит точку = (,, …, ) в точку = (,, …, ), координаты которой = (,, …, ) суть некоторые многочлены [,, …, ].

В частности, функция регулярна, если она является ограничением на некоторого многочлена [,, …, ]. Регулярные функции на образуют конечно порождённую -алгебру без нильпотентов, которая обозначается

–  –  –

где () = { [,, …, ] | | 0}, как и выше, обозначает идеал всех многочленов, тождественно зануляющихся на. Алгебры и кольца без нильпотентов называются приведёнными.

Лемма 4.5 Всякая конечно порождённая приведённая алгебра над алгебраически замкнутым полем является координатной алгеброй = [] некоторого аффинного алгебраического многообразия.

Доказательство. Зададим алгебру образующими и соотношениями, т. е. представим её в виде фактор алгебры = [,, …, ]. Приведённость алгебры означает, что (для любого [,, …, ]). Иными словами, идеал соотношений радикален: = и, по сильной теореме о нулях, = (()) является идеалом аффинного алгебраического многообразия = ().

4.3.2. Гомоморфизм поднятия. Cо всяким отображением множеств связан гомоморфизм поднятия, который действует из алгебры всех функций на со значениями в в алгебру всех функций со значениями в и переводит функцию в её композицию с отображением :

. (4-9) напомним, что ненулевой элемент в кольце называется нильпотентом, если = 0 для некоторого ; поскольку любая степень ненулевой функции со значениями в поле также является ненулевой функцией, в кольце таких функций нет нильпотентов

4.3. Аффинный алгебро-геометрический словарик

–  –  –

(,, …, )|.

Таким образом, регулярность теоретико множественного отображения равносильна тому, что гомоморфизм поднятия переводит подалгебру регулярных функций [] в подалгебру регулярных функций [], т. е. задаёт корректно определённый гомоморфизм [] []. Это наблюдение является общематематическим принципом, выходящим за рамки алгебраической геометрии.

Упражнение 4.6. Проверьте, что теоретико множественное отображение топологических пространств (соотв. гладких или аналитических многообразий) является непрерывным (соотв. гладким или аналитическим) тогда и только тогда, когда его гомоморфизм поднятия переводит подалгебру непрерывных функций () (соотв. подалгебру гладких или аналитических функций на ) в подалгебру непрерывных функций () (соотв. в подалгебру гладких или аналитических функций на ).

Мы собираемся показать, что категория аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем антиэквивалентна категории конечно порождённых приведённых -алгебр с единицей. Квазиобратные друг другу антиэквивалентности между и задаются функторами

–  –  –

Так как фактор [] является полем, идеал [] максимален. Он называется максимальным идеалом точки. Множество всех максимальных идеалов данной это специальный случай гомоморфизма поднятия, отвечающий вложению в одноточечного множества {} 104 §4 Аффинная алгебраическая геометрия алгебры называется её максимальным спектром и обозначается Specm (). Каждой точке спектра Specm отвечает гомоморфизм факторизации

–  –  –

принимающий значения в поле, которое конечно порождено как -алгебра. Над алгебраически замкнутым полем это влечёт за собой равенство =, что позволяет интерпретировать элементы алгебры как функции на Specm со значениями вполе.

Лемма 4.6 Для любого аффинного алгебраического многообразия над алгебраически замкнутым полем соответствия ev = ker(ev ) устанавливают биекции между точками многообразия, гомоморфизмами [], тождественными на, и максимальными идеалами алгебры [].

Доказательство. Биективность второго соответствия мы уже проверили выше. Сопоставление точке её максимального идеала = ker ev = ({}) вкладывает множество точек в множество максимальных идеалов, поскольку для всегда (в том числе, над не замкнутым полем) можно указать аффинно линейную функция зануляющуюся в и отличную от нуля в. Чтобы показать, что над алгебраически замкнутым полем любой максимальный идеал [] = [,, …, ]() имеет вид = ker ev для некоторой точки, рассмотрим полный прообраз [,, …, ] идеала. Поскольку [,, …, ] = [] =, идеал является собственным, максимальным и содержит (). По слабой теореме о нулях (), т. е. для некоторой точки, причём (поскольку () ), а значит = (поскольку максимален).

4.3.4. Антиэквивалентность категорий. Из лем. 4.5 и лем. 4.6 мы заключаем, что любая приведённая -алгебра имеет вид Hom (, ) для некоторого аффинного алгебраического многообразия, причём при применении к такой алгебре функтора

–  –  –

являются взаимно обратными биекциями (т. е. что = ).

Таким образом, функтор (4-11), сопоставляющий конечно порождённой приведённой коммутативной -алгебре её спектр Specm, устанавливает биекцию между гомоморфизмами алгебр и (идущими в противоположном направлении) морфизмами их спектров Specm Specm, регулярными в том смысле, что подалгебра Specm функций вида (mod ) = переходит в аналогичную подалгебру Specm. При этом поле = [], рассматриваемое как алгебра, отвечает одноточечному множеству = Specm, а различные гомоморфизмы [] — различным точкам, что согласуется с равенством

–  –  –

На множестве Specm () имеется много разных, но изоморфных друг другу структур аффинного алгебраического многообразия, если понимать под таковой структурой вложение Specm (), образом которого является алгебраическое многообразие, а гомоморфизм поднятия [ ] является композицией факторизации [ ] [] по модулю () и изоморфизма []. Фиксация такой структуры равносильна выбору конкретного способа задания алгебры образующими и соотношениями, т. е. фиксации изоморфизма [,, …, ]. Для того чтобы превратить (4-11) в функтор, принимающий значения в категории аффинных алгебраических многообразий, а не в категории множеств, мы должны зафиксировать для каждой алгебры одно из таких представлений и наделить Specm структурой многообразия, индуцированной биекцией Specm ().

В результате мы получаем функтор Specm, который оборачивает стрелки и биективно отображает Hom между алгебрами на Hom между соответствующими им многообразиями, и таков, что каждое аффинное алгебраическое многообразие оказывается (неканонически) изоморфным какому-нибудь многообразию из образа этого функтора. В этой ситуации говорят, что категории аффинных алгебраических многообразий и приведённых -алгебр антиэквивалентны посредством квазиобратных друг другу функторов (4-11) и (4-10).

Пример 4.4 (прямая и гипербола) Точки спектра Specm [] биективно соответствуют точкам аффинной прямой =, поскольку всякий гомоморфизм ev [] однозначно определяется заданием образа ev() =.

Аналогично, спектр алгебры полиномов Лорана Specm [, ] отождествляется c дополнением до нуля {0} =, поскольку = ev() = 1(ev( ) теперь должно быть обратимым элементом поля. С другой стороны, алгебру полиномов Лорана соответственно, максимальные идеалы [] — это главные идеалы вида (( )) 106 §4 Аффинная алгебраическая геометрия можно задать образующими и соотношениями: имеется изоморфизм [, ] [, ]( 1), переводящий в, а — в. Правая алгебра — это координатная алгебра гиперболы = 1 в. Отображение поднятия ( 1) {0} проектирует гиперболу на координатную ось.

Упражнение 4.8. На какую — или ?

4.3.5. Прямые произведения. В категории имеется копроизведение: для любых двух -алгебр, существует -алгебра с парой гомоморфизмов (4-12), которые универсальны в том смысле, что для любой пары гомоморфизмов существует единственный гомоморфизм со свойствами = ( ), = ( ).

–  –  –

Упражнение 4.9. Выведите из универсальности тензорного произведения векторных пространств выполнение в всех аксиом коммутативной -алгебры и универсальное свойство копроизведения алгебр.

При антиэквивалентности (4-10) копроизведение алгебр переходит в прямое произведение аффинных алгебраических многообразий, согласованное с их теоретико-множественным прямым произведением.

Лемма 4.7 Тензорное произведение любых двух конечно порождённых приведённых -алгебр является конечно порождённой приведённой -алгеброй, максимальный спектр которой является теоретико множественным прямым произведением максимальных спектров сомножителей: Specm ( ) = Specm () Specm ().

и однозначно определяются этой универсальностью хотя конечно порождённые -алгебры могут быть бесконечномерны как векторные пространства, они всегда обладают не более чем счётным базисом (т. е. образованы всевозможными конечными линейными комбинациями каких-то элементов из не более чем счётного набора базисных векторов ); большинство конструкций полилинейной алгебры из §3 дословно переносится на такие пространства; так, состоит из всевозможных конечных сумм с, и однозначно (с точностью до канонического изоморфизма) определяется стандартным универсальным свойством тензорного произведения векторных пространств

4.4. Топология Зарисского и структурный пучок Доказательство. Биекция множеств Specm () Specm () Specm ( ) переводит любую точку (, ), представленную парой эпиморфизмов вычисления

–  –  –

в эпиморфизм вычисления, предписываемый универсальным свойством тензорного произведения. Алгебра порождается над всевозможными попарными тензорными произведениями образующих алгебр и, коих имеется конечное число.

Чтобы показать, что приведена, достаточно убедиться в том, что всякий элемент, задающий нулевую функцию на Specm ( ), равен нулю. Для этого запишем такой элемент в виде с линейно независимыми над элементами.

Из равенства (ev ev ) = 0, справедливого для всех (, ) Specm ( ), вытекает, что при произвольно зафиксированном Specm линейная комбинация () является тождественно нулевой функцией на Specm и, стало быть, равна нулю, т. к. алгебра приведена. Это означает, что все константы () нулевые для всех, т. е.

задают нулевые функции на Specm. Поскольку приведена, = 0, а значит, и = 0.

4.4. Топология Зарисского и структурный пучок. На множестве = Specm имеется каноническая топология, внутренним образом отражающая алгебраические свойства алгебры. Эта топология называется топологией Зарисского и имеет в качестве замкнутых подмножеств алгебраические подмногообразия в, т. е. множества вида

–  –  –

для всевозможных идеалов.

Упражнение 4.10. Проверьте, что () удовлетворяют аксиоматике замкнутых множеств топологии, а именно: = (1); = (0); ( ) =, где состоит из всех конечных сумм с ; () () = (), где есть идеал, натянутый на все произведения с,.

Лемма 4.8 Всякий регулярный морфизм алгебраических многообразий непрерывен в топологии Зарисского.

Доказательство. Прообраз () замкнутого = () состоит из всех, для которых 0 = (()) = (), т. е. является множеством нулей идеала, порождённого в [] образом () идеала при гомоморфизме поднятия [] [].

4.4.1. Компактность. Топология Зарисского имеет чисто алгебраическую природу:

окрестности Зарисского отражают скорее отношения делимости, нежели «близости», и мы увидим ниже, что её свойства довольно далеки от интуитивно привычных свойств метрической топологии. Первое из отличий скорее приятное. А именно, поскольку всякий идеал [] конечно порождён, каждое замкнутое множество является пересечением конечного набора гиперповерхностей: () = (,, …, ) = ( ). Тем самым, 108 §4 Аффинная алгебраическая геометрия любое открытое множество () = ( ) является конечным объединением главных открытых множеств () () = { | () 0}.

В частности, любое аффинное многообразие компактно в том смысле, что в каждом его открытом покрытии содержится конечное подпокрытие.

4.4.2. Неприводимые компоненты. Топологическое пространство, представимое в виде объединения = своих собственных замкнутых подмножеств,, называется приводимым. В обычной метрической топологии практически все пространства приводимы. В топологии Зарисского приводимость многообразия равносильна наличию делителей нуля в алгебре []. В самом деле, разложение =, в котором оба,, означает существование ненулевых, [] таких, что обращается в нуль на, а обращается в нуль на, и поскольку произведение тождественно зануляется на всём, оно равно нулю [].

В частности, аффинная гиперповерхность {() = 0} неприводима тогда и только тогда, когда является степенью неприводимого многочлена. Следующая теорема показывает, что неприводимые алгебраические многообразия являются аналогами (степеней) простых чисел в арифметике.

Теорема 4.4 Каждое аффинное алгебраическое множество имеет единственное разложение = в конечное объединение таких собственных замкнутых неприводимых подмножеств, что ни при каких.

Доказательство. Разложение строится индуктивно: если приводимо, мы в качестве первого шага представим его в виде =, где, — собственные замкнутые подмножества. Если после нескольких шагов мы получим разложение = в котором все неприводимы, процесс заканчивается, и, выкидывая неприводимые компоненты, содержащиеся в других неприводимых компонентах, мы получим требуемое разложение.

В противном случае мы делаем следующий шаг, заменяя приводимые объединениями их собственных замкнутых подмножеств. Если эта процедура не остановится через конечное число шагов, мы сможем построить бесконечную цепочку строго вложенных замкнутых подмножеств …, идеалы которых составят бесконечную строго возрастающую цепочку (0) …, что противоречит нётеровости [].

Единственность следует из того, что включение означает разложение = ( ) ( ), и из неприводимости вытекает, что или. Тем самым, равенство двух разложений в объединение неприводимых компонент … = … означает, что для некоторых,, откуда = =.

Выкидываем и и применяем предположение индукции к замыканиям того, что осталось.

Пример 4.5 («большие» открытые множества) Топология Зарисского довольно груба, в частности, нехаусдорфова.

Если неприводимо, любые два открытых подмножества, имеют непустое пересечение, поскольку они называются неприводимыми компонентами многообразия

4.4. Топология Зарисского и структурный пучок в противном случае = ( ) ( ). Таким образом, всякое непустое открытое подмножество неприводимого многообразия всюду плотно.

Упражнение 4.11. Пусть неприводимо и, []. Докажите, что если | = | для некоторого непустого открытого, то = в [].

Пример 4.6 (сравнение с топологией произведения) Топология Зарисского на тоньше произведения топологий Зарисского на и, поскольку замкнутые не исчерпываются произведениями замкнутых подмножеств в,.

Например, если = =, то любая кривая, скажем, гипербола ( 1), замкнута в топологии Зарисского на =, в то время как произведения замкнутых множеств на исчерпываются конечными объединениями изолированных точек и координатных прямых.

4.4.3. Локальные регулярные функции. Рассмотрим непустое открытое подмножество аффинного алгебраического многообразия. Функция называется регулярной в точке, если существуют, [], такие что () 0 и () = ()() (). Функции, регулярные в каждой точке, образуют коммутативное кольцо, обозначаемое () или (, ). Оно называется кольцом локальных регулярных функций на.

Лемма 4.9 Если неприводимо, то (()) = [][ ] [].

Иными словами, каждая регулярная функция (()) записывается в виде () = () () с подходящими [], (в частности, для 1, мы получим () = []).

–  –  –

4.4.4. Структурный пучок. Соответствие () называется структурным пучком аффинного алгебраического многообразия. Отметим, что функция на объединении открытых множеств = регулярна тогда и только тогда, когда регулярно каждое ограничение |, и наоборот, для любого набора локальных регулярных | функций, таких что на, существует единственная регулярная функция, ограничение которой на каждое совпадает с — последнее условие, собственно, и означает, что предпучок () является пучком.

Отметим, что хотя сл. 4.6 и утверждает, что открытые множества являются локально аффинными, произвольное открытое подмножество аффинного алгебраического множества обычно аффинным алгебраическим многообразием не является: во-первых, алгебра () может оказаться не конечно порождённой, во-вторых, даже когда она конечно порождена, биекции между Specm () и точками может и не быть.

Упражнение 4.12. Пусть = — дополнение к началу координат. Покажите, что () = [ ] при 2.

Упражнение 4.13. Покажите, что открытое подмножество аффинного многообразия является аффинным, если и только если найдутся,, …, (), такие что идеал (,, …, ) = () и каждое из подмножеств = { | () 0} является аффинным многообразием.

4.5. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр. Любой гомоморфизм -алгебр [] [] канонически разлагается в композицию эпиморфизма и вложения:

–  –  –

тоже является конечно порождённой приведённой -алгеброй, отвечающей аффинному многообразию = Specm im ( ) ker( ).

Инъективность гомоморфизма [] [] означает отсутствие ненулевых функций [], зануляющихся на (), т. е.плотность () в. Таким образом, = (), и алгебраическому разложению (4-13) на геометрическом языке отвечает разложение регулярного морфизма многообразий в композицию / = ()   /.

понимаемое как контравариантный функтор из категории открытых подмножеств в категорию -алгебр напомним, что предпучком колец (групп, множеств и т. п.) на топологическом пространстве называется любой контравариантный функтор из категории открытых подмножеств в (морфизмами в которой служат вложения) в категорию колец (групп, множеств и т. п.)

4.5. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр 4.5.1. Доминантные морфизмы. Если неприводимо и гомоморфизм алгебр [] [] инъективен, то соответствующий морфизм называется доминантным. Как мы видели выше, инъективность гомоморфизма поднятия означает, что () =. Если приводимо, то морфизм называется доминантным, если доминантно его ограничение на каждую неприводимую компоненту многообразия.

4.5.2. Замкнутые вложения. Морфизм называется замкнутым вложением, если его гомоморфизм поднятия [] [] сюрьективен. Геометрически это значит, что является изоморфизмом с замкнутым подмногообразием (ker ).

Упражнение 4.14. Покажите, что любой доминантный морфизм неприводимых аффинных многообразий раскладывается в композицию   (4-14) / / /, где — замкнутое вложение, а — естественная проекция вдоль.

4.5.3. Конечные морфизмы. Наличие регулярного морфизма позволяет рассматривать [] как алгебру над ([]) = [()] []. Морфизм называется конечным, если алгебра [] является целой над своей подалгеброй ([]) или, что то же самое, если [] является конечно порождённым ([])-модулем.

Лемма 4.10 Любой конечный морфизм аффинных алгебраических многообразий переводит всякое замкнутое подмножество в замкнутое подмножество (), и индуцированный морфизм | () также будет конечен.

Кроме того, если неприводимо, то () ни для какого замкнутого.

–  –  –

Поскольку алгебра [] конечно порождена как ([])-модуль, алгебра [] = [] также конечно порождена как модуль над [ () ] = | ([]) = ([])( ([])).

Тем самым, () — конечный морфизм.

Равенство () = () достаточно доказывать отдельно для каждой неприводимой компоненты, причём ввиду предыдущего можно заменить на, а на. Итак, достаточно показать, что всякий конечный доминантный морфизм неприводимого аффинного многообразия сюрьективен. На алгебраическом языке это означает, что для любого расширения алгебр [] [], такого что [] не имеет делителей нуля и является конечно порождённым [] модулем, всякий максимальный идеал [] имеет вид [] для некоторого собственного максимального идеала []. Если

–  –  –

идеал [], порождённый в [], является собственным в [], то в качестве можно взять любой максимальный идеал, содержащий []. Таким образом, мы должны показать, что [] [] ни для какого максимального идеала [].

Пусть это не так, и [] = [] для некоторого собственного идеала []. Выберем какую-нибудь систему функций,, …,, порождающих [] как []-модуль.

Согласно нашему предположению, каждую из них можно записать в виде с =.

Это означает, что (,, …, ) ( ) = 0, где =, а — единичная матрица. Иначе говоря, нулевой []-линейный эндоморфизм модуля [] представляется в образующих { } умножением на матрицу. Но тогда умножение на det( ) также аннулирует []. Поскольку в [] нет делителей нуля, мы заключаем, что det( ) = 0.

Раскладывая определитель, получаем, что 1, т. е. = [] не является собственным.

Для доказательства неравенства () при рассмотрим какую-нибудь ненулевую функцию [], тождественно зануляющуюся вдоль, и запишем для неё целое уравнение над ([]) минимальной возможной степени:

+ ( ) + + ( ) + ( ) = 0.

Вычисляя его левую часть в точках, получим ( )| = | ( ) 0, но при этом 0 в [], т. к. иначе мы могли бы сократить уравнение на (ибо в [] нет делителей нуля). Таким образом, () ( ).

4.5.4. Нормальные многообразия. Если аффинное многообразие неприводимо, алгебра [] не имеет делителей нуля. Её поле частных обозначается в этом случае () и называется полем рациональных функций на. Неприводимое аффинное алгебраическое многообразие называется нормальным, если алгебра [] нормальна, т. е. все рациональные функции (), целые над [], лежат в []. Например, аффинное пространство нормально (как и любое другое многообразие с факториальной координатной алгеброй).

Лемма 4.11 Всякий сюрьективный конечный морфизм в нормальное многообразие открыт (т.

е. () открыто в для любого открытого ) и сюрьективно отображает на каждую неприводимую компоненту многообразия.

–  –  –

в силу равенства det( ) = ( ) ( ), где ( ) — присоединённая к ( ) матрица (транспонированная к матрице алгебраических дополнений) Задачи к §4 Оно регулярно и конечно, поскольку гомоморфизм поднятия [ ] = [][] []

–  –  –

Принадлежность точки образу множества () означает наличие у многочлена (; ) ненулевого корня, что равносильно не обращению в нуль в этой точке хотя бы одного из коэффициентов. В частности, (()) 0 для для какого-то. Но тогда () ( ) (()), что и требовалось. Что касается ограничения на компоненты неприводимого разложения =, то для каждого множество = = ( ) открыто в и плотно в. Поскольку ( ) открыто, а неприводимо, ( ) плотно в, т. е. ( ) = ( ) =.

–  –  –

Задача 4.1.

Пусть элементы,, …, порождают модуль над кольцом, и эндоморфизм действует на них по правилу,

–  –  –

[] [].

( )

–  –  –

= ( + 1, 1) [, ].

напомню (см. n 4.1.5 на стр. 98), что кольцо называется нормальным, если в нём нет делителей нуля и оно целозамкнуто в своём поле частных с тавтологическим действием + + + (сумма одинаковых слагаемых) Задачи к §4

–  –  –

биективно и топология Зарисского на Spec индуцирует исходную топологию на.

Задача 4.17.

Всякий ли простой идеал кольца ([ 0, 1 ]) вещественных непрерывных функций на отрезке максимален?

Задача 4.18.

Пусть = Spec — аффинное алгебраическое многообразие. Покажите, что разложимость в прямое произведение = равносильна разложимости в дизъюнктное объединение = двух собственных замкнутых подмножеств.

Задача 4.19.

Пусть над алгебраически замкнутым полем многочлен обращается в нуль в каждой точке гиперповерхности (). Покажите, что каждый неприводимый сомножитель многочлена делит многочлен.

Задача 4.20.

Докажите, что максимальный спектр любой конечномерной как векторное пространство над -алгебры является конечным множеством и выведите отсюда, что любой конечный морфизм имеет не более, чем конечные слои.

Задача 4.21.

Докажите, что проекция аффинной гиперповерхности () из любой точки () на любую гиперплоскость доминантна.

Задача 4.22.

Покажите, что образ регулярного доминантного морфизма содержит открытое плотное множество.

Задача 4.23 (лемма Нётер о нормализации).

Покажите, что любая гиперповерхность () в допускает конечную сюрьекцию на некоторую гиперплоскость.

Задача 4.24.

Для аффинных алгебраических многообразий,, уравнения которых известны, опишите систему уравнений, реализующих в качестве подмногообразия в + и покажите, что неприводимо, если и неприводимы.

Задача 4.25.

Может ли алгебра регулярных функций () на открытом подмножестве аффинного алгебраического многообразия над алгебраически замкнутым полем

а) не быть конечно порождённой -алгеброй?

б) быть конечно-порождённой -алгеброй, но иметь Spec () ?

Задача 4.26.

Пусть конечная группа действует регулярными автоморфизмами на аффинном алгебраическом многообразии над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Обозначим через = [] [] подалгебру инвариантов.

а) Убедитесь, что -линейный оператор усреднения [], переводящий функцию [] в центр тяжести её -орбиты ||, обладает для всех []

–  –  –

подсказка: рассмотрите идеал [], порождённый всеми непостоянными функциями из, выберете в этом идеале конечный набор образующих из и при помощи предыдущего свойства (3) покажите, что они порождают как -алгебру §5. Алгебраические многообразия Всюду в этом параграфе мы продолжаем по умолчанию считать, что основное поле алгебраически замкнуто.

5.1. Определение и примеры многообразий и их морфизмов. Алгебраические многообразия определяются по той же схеме, что и топологические, гладкие или аналитические многообразия, т. е. как топологические пространства, каждая точка которых обладает окрестностью, гомеоморфной некоторой «стандартной локальной модели», и любые две таких окрестности должны регулярным образом согласовываться на их пересечении. Нюансов два: в отличие от топологии и дифференциальной геометрии, где обычно ограничиваются какой-нибудь одной локальной моделью (пространством или шаром в ), в алгебраической геометрии в качестве локальных моделей допускаются любые аффинные алгебраические многообразия, а «регулярность» согласования двух таких локальных моделей на их пересечении понимается в смысле n 4.3.1 и n 4.4.3. Точные определения таковы.

Открытое подмножество топологического пространства называется алгебраической аффинной картой, если существует аффинное алгебраическое многообразие и гомеоморфизм.

Две алгебраических карты и на называются совместимыми, если гомеоморфизм склейки =, отождествлящий между собою прообразы пересечения в многообразиях и ( ) ( )

–  –  –

Открытое покрытие = попарно совместимыми алгебраическими картами называется алгебраическим атласом на. Два алгебраических атласа называются эквивалентными, если их объединение также представляет собой алгебраический атлас. Топологическое пространство, с зафиксированным на нём классом эквивалентных алгебраических атласов называется алгебраическим многообразием. Алгебраические многообразия, обладающие конечным атласом, называются многообразиями конечного типа.

Упражнение 5.1. Убедитесь, что грассманианы (в частности, проективные пространства) являются алгебраическими многообразиями конечного типа в смысле данного выше определения.

5.1.1. Прямое произведение алгебраических многообразий, является алгебраическим многообразием. Его атлас состоит из всех попарных произведений, где, суть аффинные алгебраические карты на,.

Упражнение 5.2. Проверьте, что прямое произведение, а также любое его подмножество, задаваемое набором однородных по каждой группе переменных в том числе «особые», такие как крест Specm [, ]() рассматривается как топологическое пространство с топологией Зарисского 118 §5 Алгебраические многообразия полиномиальных уравнений на групп по,, …, переменных, является алгебраическими многообразиями.

5.1.2. Регулярные функции и морфизмы. Функция называется регулярной в точке, если её подъём на какую-нибудь аффинную карту, порывающую, является локальной регулярной функцией, определённой в какой-нибудь открытой окрестности точки. Функции на открытом подмножестве, регулярные в каждой точке этого подмножества, образуют коммутативное кольцо (). Соответствие () называется структурным пучком многообразия.

Отображение алгебраических многообразий называется регулярным, если и любой локальной регулярной функции (), определённой в какойлибо окрестности точки (), существует окрестность () точки, такая что () (). Иными словами, над каждым открытом гомоморфизм поднятия должен быть корректно определённым гомоморфизмом колец локальных регулярных функций. Например, множество регулярных морфизмов совпадает с ().

5.1.3. Замкнутые подмногообразия. Каждое замкнутое подмножество алгебраического многообразия имеет естественную структуру алгебраического многообразия. А именно, для каждой аффинной карты пересечение есть замкнутое подмножество, т. е. аффинное алгебраическое множество Specm () (), где () = { () | | 0} есть идеал аффинного подмногообразия. Соответствие () называется пучком идеалов замкнутого подмногообразия. Он является подпучком структурного пучка и состоит из всех локальных регулярных функций, тождественно обращающихся в нуль на.

Регулярный морфизм называется замкнутым вложением, если () является замкнутым подмногообразием и устанавливает изоморфизм между и ().

Будем называть многообразие аффинным (соотв. проективным), если оно допускает замкнутое вложение (соотв. ) для некоторого.

Упражнение 5.3. Убедитесь, что аффинные (соотв. проективные) алгебраические многообразия, понимаемые как подмножества в аффинном (соотв. проективном) пространстве, заданные системой полиномиальных (соотв. однородных полиномиальных) уравнений, являются аффинными (соотв. проективными) многообразиями в смысле предыдущего определения.

Пример 5.1 (семейства подмногообразий) Каждый регулярный морфизм может восприниматься как семейство замкнутых подмногообразий = (), параметризованное точками.

Если, — два семейства с одной и той же базой, то регулярный морфизм называется морфизмом семейств (или морфизмом над ), если он переводит в для каждого, т. е. если =. Семейство называется постоянным или тривиальным, если оно изоморфно над прямому произведению для некоторого многообразия.

а в силу согласованности какрт — и на любую

5.1. Определение и примеры многообразий и морфизмов

–  –  –

Таким образом, есть замкнутое подмногообразие.

5.1.4. Отделимость. Стандартный атлас на состоит из двух карт, = 0, 1.

Их пересечение видно внутри каждой из них как дополнение к началу координат:

( ) = ( ) = {} = { | 0}.

Карты склеены по этому пересечению посредством отображения склейки (5-1) 1.

Если вместо этого отображения воспользоваться тождественным отображением (5-2), получится другое многообразие — «прямая с раздвоенной точкой»:

---------------:---------------.

Такая патология называется неотделимостью. Причина её возникновения в том, что правило склейки (5-2) «не замкнуто»: его можно «продолжить по непрерывности» с {} на всё = {}.

В общем случае явление (не) отделимости формализуется так. Включения

–  –  –

задают вложение. Так, правило (5-1) задаёт вложение ( ) по формуле (, ), которое отождествляет пересечение с замкнутым подмножеством ( 1) =. А правило (5-2) задаёт вложение ( ) по формуле (, ), и его образ не замкнут — это открытое подмножество {(0, 0)} диагонали = ( ).

Алгебраическое многообразие называется отделимым, если для любой пары аффинных карт, на образ канонического вложения замкнут. Поскольку этот образ есть не что иное, как пересечение диагонали с аффинной картой на, многообразие отделимо, если и только если диагональ замкнута в.

Например, и отделимы, поскольку диагонали в и в задаются, соответственно, уравнениями = и =. Замкнутое подмногообразие отделимого многообразия тоже отделимо, ибо диагональ в является прообразом диагонали в при вложении. В частности, всякое аффинное или проективное многообразие отделимо и имеет конечный тип.

Пример 5.3 (график морфизма) Пусть — регулярный морфизм.

Прообраз диагонали при индуцированном морфизме Id называется графиком и обозначается через. Геометрически, = {(, ())}. Если отделимо, то график замкнут. Например, график регулярного морфизма аффинных многообразий Specm () Specm () задаётся в системой уравнений 1 = () 1, где пробегает.

5.1.5. Рациональные отображения. Регулярный морфизм, определённый на некотором открытом плотном подмножестве алгебраического многообразия, называется рациональным отображением из в.

Формально говоря, рациональное отображение не является отображением «из » в теоретико-множественном смысле, т. к. определено не везде. В частности, композиция рациональных отображений не определена, когда образ первого отображения оказывается целиком вне области определения второго. Тем не менее, рациональные отображения часто возникают в алгебраической геометрии.

–  –  –

= {(,, …, ) | = 1}, соответствующий гомоморфизм поднятия ( ) = [,, …, ] [,, …, ] ( ( )) = (( )) = + +

–  –  –

5.2. Геометрические схемы. Максимальный спектр Specm можно образовать для любой, в том числе не обязательно приведённой -алгебры. Над алгебраически замкнутым полем каждый элемент при этом по-прежнему можно интерпретировать как функцию на Specm, значение которой в точке Specm равно (mod ) =.

Это даёт гомоморфизм из алгебры в алгебру функций на спектре со значениями в.

Но так как в нет нильпотентов, все нильпотентны алгебры при этом гомоморфизме переходят в тождественно нулевые функции на спектре. Нильпотентные элементы алгебры образует идеал (5-3) () { | = 0}, который называется нильрадикалом алгебры. Из предыдущего следует, что нильрадикал () содержится в пересечении всех максимальных идеалов алгебры и

–  –  –

(отметим, что алгебра red редуцирована). Если поле алгебраически замкнуто, то пересечение всех максимальных идеалов в red нулевое, ибо оно состоит из функций, тождественно обращающихся в нуль на аффинном алгебраическом многообразии

–  –  –

и пересечение всех максимальных идеалов в совпадает в этом случае с ().

Упражнение 5.4. Покажите, что нильрадикал произвольного коммутативного кольца совпадает с пересечением всех простых идеалов этого кольца.

Определение 5.1 Пара (, Specm ), где — произвольная (не обязательно приведённая) конечно порождённая алгебра над алгебраически замкнутым полем, называется аффинной геометрической схемой. Регулярный морфизм геометрических схем (, Specm ) (, Specm ) определяется как пара = (, ), где — гомоморфизм -алгебр, а = Specm Specm индуцированный им регулярный морфизм спектров, переводящий точку ev в точку ev.

Интуитивно, аффинная геометрическая схема — это аффинное алгебраическое многообразие = Specm red, кольцо регулярных функций которого расширено при помощи идеала нильпотентов, кодирующих те или иные «инфинитезимальные» геометрические характеристики.

Пример 5.5 (пересечения) Определим пересечение аффинных многообразий, как геометрическую схему, заданную объединением всех уравнений, задающих и : (() + ()).

Если т. к. = = 0 ( ) + = 0 подчеркнём, что морфизм геометрических схем полностью определяется гомоморфизмом алгебр, но, вообще говоря, не определяется регулярным морфизмом подлежащих спектров 122 §5 Алгебраические многообразия пересечение не трансверсально, фактор алгебра = [,, …, ](() + ()) не является приведённой. Например, если, заданы уравнениями = 0 и = 0, то = [, ] (, ) [] ( ) не приведена, а само пересечение в этом случае естественно считать двойной точкой = = 0 (теоретико множественно совпадающей со Specm red ). В общем случае, пересечение как множество тоже исчерпывается точками аффинного алгебраического многообразия Specm red, но заменяя пару (, Specm ) на Specm мы можем потерять важную информацию о характере пересечения. В частности, если мы хотим развить, скажем, теорию кратностей пересечений, мы должны рассматривать пересечения именно как схемы, а не только как алгебраические многообразия. Это формализуется при помощи следующей конструкции.

5.2.1. Послойные произведения. Пусть даны два семейства, алгебраических многообразий над (см. прим. 5.1). Их послойное (или расслоенное) произведение над представляет собой семейство над, каждый слой которого является произведением соответствующих слоёв семейств и.

С алгебраической точки зрения, конструкция послойного произведение в категории геометрических схем двойственна тензорному произведению алгебр, но не над основным полем, а над некоторой -алгеброй. Точнее, пусть = Specm, = Specm, где,, суть конечно порождённые -алгебры. Наличие на структуры семейства над двойственна наличию на структуры -алгебры, задаваемой гомоморфизмом поднятия. Тензорное произведение над алгеброй определяется как фактор алгебра -алгебры по идеалу, порождённому всеми разностями ( ) ( ) с и.

Упражнение 5.5. Проверьте, что является копроизведением в категории -алгебр, т. е. удовлетворяет в этой категории универсальными свойствами, перечисленными перед упр. 4.9 на стр. 106.

На геометрическом языке универсальные свойства копроизведения над означают, что геометрическая схема (5-4) =, Specm ( )red обладает следующим универсальным свойством: для любого семейства над и любых двух морфизмов семейств и над существует единственный морфизм семейств над, такой что = ( ) для = 1, 2.

Подчеркнём, что в отличие от «абсолютных» произведений над основным полем произведения над -алгеброй могут содержать нильпотенты даже тогда, когда оба сомножителя редуцированы. В таких ситуациях послойное произведение многообразий по умолчанию всегда рассматривается как геометрическая схема (5-4) со структурной алгеброй [ ] [ ].

[]

5.2. Геометрические схемы 5.2.2. Замена базы, схемное пересечение и схемный прообраз. Любое семейство можно поднять вдоль произвольного морфизма до семейства (), что изображается коммутативной диаграммой замены базы / ()   / В геометрии и топологии эта процедура называется заменой базы. В алгебре и теории представлений она больше известна как расширение скаляров или индуцирование.

Подъём произвольного семейства вдоль замкнутого вложения, т. е. замена базы (), обычно называется схемным ограничением семейства на замкнутое подмногообразие. То же самое послойное произведение, но со структурой семейства, задаваемой другой проекцией (), обычно называется схемным прообразом замкнутого подмногообразия относительно морфизма.

Если аффинно, а задано идеалом [], то геометрически ()

–  –  –

гебра ([]/) [], вообще говоря, не приведена.

[] Например, схемный прообраз полукубической параболы, заданной уравнением = вдоль отображения (, ),

–  –  –

5.3. Замкнутые морфизмы. Регулярный морфизм называется замкнутым, если () замкнуто для любого замкнутого. Любое замкнутое вложение замкнуто. Из лем. 4.10 вытекает, что всякий конечный морфизм аффинных многообразий замкнут.

Лемма 5.1 Проекция замкнута.

Доказательство. Зафиксируем однородные координаты на и аффинные координаты на. Замкнутое подмножество задаётся некоторой системой полиномиальных уравнений (, ) = 0 (однородных по ). Его образ () состоит из всех точек, при подстановке которых вместо будет получаться система однородных уравнений (, ) = 0 на, задающая непустое подмногообразие в. Как мы видели в n 4.2.1, последнее условие равносильно тому, что коэффициенты форм (, ), являющиеся полиномами от, удовлетворяют системе результантных полиномиальных уравнений.

Следствие 5.1 Если многообразие проективно, то проекция замкнута для любого многообразия.

Доказательство. Ограничиваясь на аффинные карты в, мы можем считать аффинным. Тогда является замкнутым подмногообразием в, и наша проекция получается ограничением замкнутой проекции на замкнутое подмножество.

Следствие 5.2 Если проективно, а отделимо, то любой морфизм замкнут.

Доказательство. Для каждого замкнутого произведение замкнуто в.

Поскольку отделимо, график тоже замкнут. Но () есть образ ( ) при проекции, которая замкнута.

Следствие 5.3 Любое регулярное отображение из связного проективного многообразия в любое аффинное многообразие постоянно (стягивает в одну точку). В частности, () =.

Доказательство. Достаточно рассмотреть отображения. Беря композицию такого отображения с координатными формами, мы сводим утверждение к случаю = 1. Отождествляя с аффинной картой на, получаем регулярное несюрьективное отображение, образ которого замкнут и связен, т. е. является одной точкой.

5.3.1. Конечные морфизмы. Регулярный морфизм алгебраических многообразий называется конечным, если прообраз = () любой аффинной карты является аффинной картой на, и ограничение является конечным морфизмом аффинных многообразий в смысле n 4.5.3 на стр. 111. Из лем. 4.10 на стр. 111 следует, что каждый конечный морфизм замкнут и ограничение конечного морфизма

5.3. Замкнутые морфизмы на замкнутое подмногообразие также является конечным морфизмом. Более того, если неприводимо, то собственное замкнутое подмножество переходит в собственное замкнутое подмножество.

Пример 5.6 (проекция из точки на гиперплоскость) Проекция любого проективного многообразия из любой точки на любую гиперплоскость является конечным морфизмом.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим аффинную карту и зафиксируем на однородные координаты ( … ), в которых = (1 0 … 0) = {(0 … )} = { = (0 … 1)} (как в прим. 5.2 на стр. 119). Поскольку, прообраз = () лежит внутри проколотого конуса над с выколотой вершиной, который изоморфен как алгебраическое многообразие аффинному пространству =. Изоморфизм задаётся ограничением на проколотый конус морфизма раздутия и в терминах координат представляет собою подстановку = +, где,. Если задаётся системой однородных уравнений () = 0, то в аффинных координатах (, ) на прообраз = () будет описываться уравнениями () () () (5-5) ( + ) = () + () + + () = 0.

–  –  –

имели бы общий корень ( ) = (1 0) над точкой. Но эти однородные уравнения описывают в терминах однородных координат ( ) на прямой = { + }, и корень ( ) = (1 0) отвечает самой точке, которая не лежит в.

Упражнение 5.6. Проверьте, что композиция конечных морфизмов конечна и докажите, что каждое проективное многообразие допускает конечный сюрьективный морфизм на проективное пространство.

–  –  –

Следствие 5.4 Каждое аффинное многообразие допускает конечный сюрьективный морфизм на аффинное пространство.

Доказательство. Пусть, где вложено в как стандартная карта. Положим и обозначим через проективное замыкание аффинного многообразия. Проекция из любой точки на любую гиперплоскость, видимую в аффинной карте как =, индуцирует конечный морфизм из = в это (видимый в аффинной карте как параллельная проекция в направлении вектора ). Если он окажется не сюрьективным, повторим процедуру.

–  –  –

называется размерностью алгебраического многообразия в данной точке и обозначается через dim. Разумеется, когда неприводимо, во всякой такой максимальной цепочке мы будем иметь =. Если же приводимо, то dim равна максимуму из размерностей всех проходящих через неприводимых компонент.

Упражнение 5.7. Покажите, что dim = dim для каждой аффинной карты.

Упражнение 5.8. Для любого сюрьективного морфизма неприводимых многообразий и любой точки докажите неравенство dim dim ( ).

Предложение 5.1 Пусть — конечный морфизм неприводимых многообразий, и. Тогда dim dim ( ) и равенство равносильно тому, что () =.

Доказательство. Согласно упр. 5.7 достаточно считать и аффинными. Утверждение из лем. 4.10 показывает, что каждая цепочка (5-6) в порождает цепочку ( ) ( + ) строго вложенных замкнутых неприводимых подмногобразий в, что даёт нужное нам неравенство. В случае () = упр. 5.8 даёт противоположное неравенство.

Следствие 5.5 dim = в любой точке.

Доказательство. Ясно, что dim = 0 и dim, поскольку имеется цепочка вида (5-6), образованная проходящими через аффинными подпространствами.

Неравенство dim получается по индукции: последний отличный от элемент цепочки (5-6) допускает конечный сюрьективный морфизм на собственное аффинное подпространство в, и поэтому по индукции его размерность (а значит, и его номер в цепочке) строго меньше.

Следствие 5.6 Пусть — неприводимое аффинное многообразие и — сюрьективный конечный морфизм. Тогда dim = в каждой точке. В частности, не зависит от выбора, а dim одна и та же для всех.

5.4. Размерность 5.4.1. Размерность как степень трансцендентности. Пусть — неприводимое аффинное многообразие. Конечная сюрьекция из следствия сл. 5.4 соответствует целому расширению [] [,, …, ] = [ ]. Таким образом, аффинные координатные функции,, …, образуют базис трансцендентности [] над и dim равна степени трансцендентности [] над.

Упражнение 5.9. Докажите, что dim( ) = dim + dim для любых неприводимых многообразий,.

Упражнение 5.10. Пусть [,, …, ] неприводим и не константа. Покажите, что dim () = ( 1) в.

5.4.2. Размерности подмногообразий. Если многообразие приводимо, скажем, является объединением двух неприводимых компонент = одинаковой размерности, то непостоянная функция, зануляющаяся сразу на целой компоненте, допустим, на, задаёт в гиперповерхность той же размерности, что и само.

Обращение функции в нуль на неприводимой компоненте аффинного многообразия равносильно тому, что является делителем нуля в []. Последовательность необратимых функций,, …, [] называется регулярной, если ни при каком функция (mod (,, …, )) [] (,, …, ) = [(,, …, )] не делит нуль в этой фактор алгебре. В регулярной последовательности уравнений на аффинном многообразии никакое из уравнений не зануляется тождественно ни на одной из неприводимых компонент подмногообразия (,, …, ). В этом случае добавление каждого нового уравнения уменьшает размерность такого подмногообразия в точности на единицу, как показывает Предложение 5.2 Если неприводимо, то dim () = dim () 1 для любой непостоянной регулярной функции () и любой точки ().

–  –  –

Теперь () = ( ), где — гиперплоскость, заданная уравнением = 0. Пересечение ( ) является в аффинном пространстве = гиперповерхностью, заданной уравнением () = 0, и согласно упр. 5.10, имеет размерность 1.

Остаётся применить предл. 5.1 к конечной сюрьекции | ( ) () ( ).

–  –  –

Следствие 5.8 Для любых замкнутых аффинных многообразий, в каждой точке выполняется неравенство dim ( ) dim ( ) + dim ( ).

Доказательство. Пусть и — замкнутые вложения. Тогда является прообразом диагонали при отображении.

Внутри он задаётся уравнениями ( ) ( ) = ( ) ( ), которые являются поднятиями линейных уравнений =, задающих диагональ в. Осталось применить сл. 5.7.

Следствие 5.9 Если замкнутые проективные многообразия, удовлетворяют неравенству dim( ) + dim( ), то.

Доказательство. Пусть = (). Рассмотрим в + = () аффинные конусы, образованные одномерными векторными подпространствами в, составляющими точки проективных многообразий и (эти конусы имеют те же самые уравнения, что и,, но только теперь эти уравнения рассматриваются как аффинные). По предыдущему утверждению dim ( ) dim ( ) + 1 + dim ( ) + 1 1 1. Таким образом, не исчерпывается точкой.

5.4.3. Размерности слоёв регулярных морфизмов. В алгебраической геометрии, в отличие от дифференциальной геометрии и топологии, размерность прообраза при регулярном отображении контролируется почти столь же жёстко, как в линейной алгебре.

Теорема 5.1 Для любого доминантного морфизма неприводимых алгебраических многообразий в каждой точке выполняется неравенство dim (()) dim dim и существует плотное открытое подмножество, над которым

–  –  –

Доказательство. Беря композицию с конечным сюрьективным морфизмом какой-нибудь аффинной окрестности точки () на пространство, мы сводим первое утверждение теоремы к случаю = = Specm [,, …, ], () = 0. Но тогда (0) является пересечением гиперповерхностей ( ( )), и требуемое неравенство получается индуктивным применением сл. 5.7.

В доказательстве второго утверждения мы, не ограничивая общности, можем считать оба многообразия аффинными: = Specm, = Specm, а морфизм — ограничением проекции на замкнутое подмногообразие (см. разложение (4-14) из упр. 4.14 на стр. 111). Мы собираемся применить к слоям этой проекции следствие сл. 5.4.

Для этого рассмотрим проективное замыкание, выберем гиперплоскость и точку так, чтобы сечение {} не содержалось в. Тогда послойная проекция из на будет удовлетворять условиям прим. 5.6 во всех слоях, располагающихся над открытым подмножеством, дополнительным к {},

5.5. Рабочий пример: прямые на поверхностях где — проекция вдоль. Таким образом, заменяя его открытым подмножеством (которое можно выбрать главным, т. е. тоже аффинным), мы можем повторить рассуждения из сл. 5.4 послойно (одновременно во всех слоях проекции ) и построить конечную сюрьекцию, ограничение которой на каждый слой () конечно и эпиморфно отображает () на {}. Конечность влечёт равенство = dim dim, а конечность его ограничений на слои — равенство dim () =.

–  –  –

замкнуты в при всех.

Доказательство. Мы можем предполагать и неприводимыми. Если dim = 0 (т. е.

— точка) теорема тривиально верна для всех. Пусть теперь dim = и для всех меньшей размерности теорема верна при всех. Покажем, что она верна для. Если dim() dim(), то = по предыдущей теореме. Для dim() dim() заменим на =, где взято из теор. 5.1, а — на = ( ). Тогда, dim dim, и применимо индуктивное предположение.

Следствие 5.11 Для любого замкнутого морфизма множество { | dim () } замкнуто в при всех.

Теорема 5.2 (размерностный критерий неприводимости) Пусть — замкнутый эпиморфизм с неприводимыми слоями одной и той же размерности.

Если неприводимо, то также неприводимо.

–  –  –

Поскольку и, и отличны от, оба подмножества, являются собственными.

По предыдущему следствию, оба они замкнуты: можно описать как множество точек в, над которыми слои ограничения имеют максимально возможную размерность.

Значит, тоже приводимо.

–  –  –

( ) = ( ) =.

–  –  –

( ) 0 означает, что все коэффициенты этого разложения равны нулю, что и даёт явную систему полиномиальных уравнений на коэффициенты и плюккеровы координаты, описывающую как замкнутое алгебраическое подмногообразие в.

Предложение 5.4 Проекция сюрьективна, все её слои являются проективными пространствами размерности ( + 1)( + 5) 1, и, тем самым, является неприводимым проективным многообразием размерности ( + 1)( + 5) + 3.

Доказательство. Пусть прямая () задана уравнениями = = 0. Тогда, если и только если задаётся уравнением вида () + () = 0, в котором,. Такие уравнения образуют векторное пространство, являющееся образом линейного оператора (, ) +,

–  –  –

Неприводимость вытекает из теор. 5.2, а dim вычисляется по теор. 5.1.

5.5. Рабочий пример: прямые на поверхностях Предложение 5.5 Общая поверхность степени 4 не содержит прямых.

–  –  –

и выполняется для всех 4.

Предложение 5.6 Каждая кубическая поверхность содержит хотя бы одну прямую, причём для общей кубики множество лежащих на ней прямых конечно.

Доказательство. При = 3 неравенство (5-7) превращается в равенство: в этом случае dim = = 19. Чтобы доказать сюрьективность проекции, достаточно указать хоть один её непустой нульмерный слой — тогда неприводимое замкнутое подмногообразие () будет 19-мерным, а стало быть, совпадёт со всем.

Выясним, например, какие прямые лежат на проективном замыкании кубики с аффинным уравнением = 1. В рассматриваемой аффинной части прямых вообще нет, поскольку прямая с параметрическим уравнением = +, = +, = = + лежит на, если и только если = 0 + + = 0 + + = 0 = 1 что невозможно. На бесконечности задаётся уравнением = 0, т. е. является объединением трёх прямых = = 0 ( = 1, 2, 3).

Упражнение 5.12. Найдите все прямые на кубике Ферма, заданной однородным уравнением = 0.

5.5.1. Прямыe на гладкой кубике. Рассмотрим гладкую кубическую поверхность, заданную уравнением () = 0.

–  –  –

Предложение 5.7 Всякое приводимое плоское сечение распадается либо в объединение прямой и гладкой коники, либо в объединение трёх различных прямых.

Доказательство. Покажем, что плоское сечение не может содержать двойную прямую. Если такая двойная прямая имеется, возьмем координаты, в которых плоскость задаётся уравнением = 0, а — уравнениями = = 0. Тогда () = () + () = 0 с линейным и квадратичным. Прямая пересекается с квадрикой () = 0 в некоторой точке. Тогда () = () = () = 0 и все частные производные равны нулю в точке, т. е. особа в.

Следствие 5.12 В одной точке поверхности может пересекаться не более трёх лежащих на прямых, причём все они должны находиться в одной плоскости.

Доказательство. Все проходящие через прямые, лежащие на, принадлежат.

Предложение 5.8 Для данной прямой существуют ровно 5 различных плоскостей,, …,, содержащих и пересекающих по тройке прямых. Более того, если =, то = = = (в частности, на есть скрещивающиеся прямые) и любая лежащая на прямая, скрещивающаяся с, при каждом пересекает ровно одну из двух прямых,.

Доказательство. Фиксируем базис {,,, } в так, что прямая = ( ), заданная уравнениями = = 0, лежит на. Тогда уравнение () = 0, задающее, имеет в этом базисе вид (, ) + 2 (, ) + (, ) + + 2 (, ) + 2 (, ) + (, ) = 0, (5-8)

–  –  –

и рассмотрим в плоскости = ( ) однородные координаты ( ) относительно этих трёх точек. Уравнение плоской коники получается подстановкой = ( ) в уравнение (5-8) с последующим сокращением на общий множитель. Матрица Грама этой коники в координатах ( ) имеет вид

–  –  –

является однородным многочленом от = ( ) степени 5, и стало быть, обращается в нуль в пяти точках, учтённых с кратностями. Мы должны показать, что все эти кратности равны единице.

Каждый нуль детерминанта (5-9) соответствует вырождению коники в пару прямых, точка пересечения которых лежит либо на, либо вне.

В первом случае мы выберем базис так, чтобы эти две прямые были = ( ) и = ( + ) с уравнениями = = 0 и = ( ) = 0. Такое вырождение отвечает корню = (1 0) уравнения (, ) = 0, и кратность этого корня равна наибольшей степени, на которую делится (, ). Поскольку,,, уравнение (5-8) принимает вид ( ) + () = 0 с квадратичным (), и единственными элементами, не делящимися на, могут быть лишь (mod ) и 2 (mod ). Таким образом, (, ) (mod ), и этот член имеет порядок 1 по, если и только если мономы и входят в (5-8) с ненулевыми коэффициентами. Но это действительно так, поскольку первый из них — это единственный моном, который вносит ненулевой вклад в в точке, а второй — это единственный моном, который вносит ненулевой вклад в в точке.

Во втором случае мы выберем базис так, чтобы = ( ), = ( ) задавались уравнениями = = 0 и = = 0. Этому вырождению отвечает тот же самый корень = (1 0). Теперь (5-8) имеет вид + () = 0 и ненулевым по модулю элементом является только 2 (mod ). Таким образом, (, ) (mod ) имеет порядок 1 по, если и только если мономы и действительно присутствуют в (5-8). Но если бы второй моном не входил в, то делится бы на и кубика была бы приводима (а значит, особа). А первый мономэто единственный моном, дающий ненулевой вклад в, вычисленную в точке.

Оставшиеся утверждения о пересечениях прямых вытекают из сл. 5.12, предл. 5.7 и замечания, что каждая прямая в пересекает любую плоскость.

Предложение 5.9 Ни через какие четыре попарно скрещивающиеся прямые, лежащие на, нельзя провести квадрику, и для любой такой четвёрки прямых всегда найдётся одна или две (но не более!) прямые, лежащие на и пересекающие каждую прямую из четвёрки.

Доказательство. Если четыре попарно скрещивающиеся прямые на лежат на квадрике, то это — гладкая квадрика Сегре, заметаемая двумя семействами прямых, и наша четвёрка прямых находится в одном из этих семейств. Но тогда все прямые другого семейства (а стало быть, и сама квадрика) лежат на, ибо всякая прямая, проходящая через 4 различных точки, лежит на целиком. Тем самым, поверхность приводима, и значит, особа.

5.5.2. Конфигурация 27 прямых. Зафиксируем на пару скрещивающихся прямых, и построим 5 пар прямых, причём в каждой паре обозначим через ту прямую, которая пересекает, а через — ту, которая скрещивается с. Далее, обозначим см. n 2.4.1 на стр. 42 134 Задачи к §5 через ещё 5 прямых, образующих вместе с прямыми пять пар прямых, ассоциированных согласно утверждению из предл. 5.8 с =. Таким образом, каждая из прямых пересекается с, но скрещивается с и со всеми с, и стало быть, пересекает все с.

Любая прямая, отличная от 17 только что названных, скрещивается и с, и с, но при каждом пересекает ровно одну из двух прямых,. Из утверждения предл. 5.9 вытекает, что все лежащие на прямые, пересекающие 4 прямых, исчерпываются парой прямых,. С другой стороны, если лежащая на прямая пересекает 2 прямых, то с точностью до перестановки индексов, мы можем считать, что она пересекает три прямые,, и ещё либо прямую, либо. В обоих случаях из утверждения предл. 5.9 вытекает, что — это одна из двух прямых,.

Итак, всякая лежащая на прямая, отличная от 17 прямых,,,,, пересекает в точности 3 прямые. Покажем, что на имеется ровно 10 таких прямых, взаимно однозначно соответствующих = 10 тройкам { } {1, 2, 3, 4, 5}. Действительно, для каждой тройки прямых имеется самое большее одна прямая, отличная от, и пересекающая заданные три прямые и оставшиеся прямые (поскольку все 5 попарно скрещиваются). С другой стороны, по утверждению предл. 5.8, для каждого на лежит ровно 10 прямых, пересекающих — это 4 прямых,, и, а оставшиеся 6 должны, как мы знаем, пересекать ещё ровно две из оставшихся четырёх прямых. Но таких пар и имеется ровно = 6, что и приводит к требуемому взаимно однозначному соответствию между прямыми и тройками (,, ).

Теорема 5.3 Каждая гладкая кубическая поверхность содержит ровно 27 прямых, причём комбинаторика их попарных пересечений на всех одинакова.

Упражнение 5.13. Найдите порядок подгуппы, состоящей из всех перестановок 27 прямых, сохраняющих все их попарные пересечения.

Упражнение 5.14. Рассмотрим поле из 4 элементов: []( ++1), где = 2.

Подобно расширению, расширение обладает автоморфизмом сопряжения:, который оставляет на месте подполе и переставляет друг с другом пару корней многочлена + + 1. Покажите, что проективная унитарная группа U ( ) канонически вкладывается в группу из упр. 5.13 как (нормальная) подгруппа индекса 2.

–  –  –

эти точки, объясните, как действует на тройке прямых, соединяющих эти точки, и опишите im.

Задача 5.2 (график рационального отображения).

Графиком рационального /, определённого на некотором открытом плотном, отображения называется замыкание множества точек {(, ()) | }.

а) Убедитесь, что график проекции аффинного пространства на его проективизацию из прим. 5.4 представляет собою раздутие + в начале координат.

б) Опишите график квадратичного преобразования из зад. 5.1 (в частности, опишите слои его проекций на оба сомножителя).

Задача 5.3 (результант).

Зафиксируем (+1) натуральных степеней,, …,, обозначим через = пространство гиперповерхностей степени в = (), и пусть = {(,, …,, ) | … }. Покажите что а) — неприводимое проективное многообразие и найдите dim

б) существует единственный с точностью до пропорциональности неприводимый полином от коэффициентов однородных форм,, …, заданных степеней от ( + 1) переменных, который обращается в нуль тогда и только тогда, когда система ( + 1) уравнений = 0 имеет ненулевое решение.

Задача 5.4 (геометрическое определение размерности).

Убедитесь в том, что размерность неприводимого проективного многообразия можно определить любым из следующих эквивалентных способов:

а) наибольшее, такое что для любого ( )-мерного проективного подпространства

б) наименьшее, для которого найдётся ( 1)-мерное проективное подпространство, не пересекающее

в) наименьшее, такое что = для общего ( 1)-мерного проективного подпространства.

Задача 5.5.

Дано -мерное проективное многообразие = (). Покажите, что множество ( )-мерных проективных подпространств (), пересекающих по конечному множеству точек, составляют плотное открытое (по Зарисскому) подмножество грассманиана Gr( + 1, ), параметризующего все ( )-мерные проективные подпространства в (). (Подсказка: рассмотрите многообразие инцидентности = {(, ) Gr( + 1, ) | } ; с помощью проекции покажите, что оно проективно и неприводимо, и вычислите его размерность; затем рассмотрите проекцию Gr( + 1, ).) Задача 5.6 (-детерминанталь). Обозначим (, ) (Mat ) проективное многообразие матриц из строк и столбцов, имеющих rk. С помощью подходящего многообразия инцидентности = {(, ) | ker } (где — подпространство, а — матрица) покажите, что (, ) является неприводимым проективным многообразием и найдите dim (, ).

Задача 5.7.

Покажите, что множество всех поверхностей 4-й степени = (), на

–  –  –

которых имеется хоть одна прямая, образует неприводимую алгебраическую гиперповерхность в пространстве ( ) всех поверхностей 4-й степени.

Задача 5.8 (многообразие Фано гладкой квадрики).

Покажите, что множество -мерных проективных подпространств, лежащих на гладкой (2 + 1)-мерной квадрике в + (соотв. на гладкой 2-мерной квадрике в + ) является неприводимым проективным многообразием (соотв. дизъюнктным объединением двух изоморфных друг другу проективных многообразий) и выясните размерности этих многообразий (они называются многообразиями Фано гладких квадрик или изотропными грасманианами).

Задача 5.9.

Покажите, что изолированные точки слоёв морфизма образуют открытое (но, возможно, пустое) подмножество в.

Задача 5.10 (теорема Шевалле о конструктивности).

Докажите, что образ регулярного морфизма алгебраических многообразий конструктивен в том смысле, что его можно получить конечным числом операций пересечения, объединения и разности из конечного числа открытых и замкнутых подмножеств.

Задача 5.11.

Может ли гладкая кубическая поверхность иметь плоское сечение, распадающееся в объединение гладкой коники и ее касательной?

Задача 5.12.

Покажите, что любая гладкая кубическая поверхность может быть задана в подходящей координатной системе уравнением + = 0, где и суть линейные однородные формы. (Подсказка: используйте прямую и 5 плоскостей, проходящих через неё и пересекающих в тройке различных прямых.) Задача 5.13. Зафиксируем на = () шестёрку точек {,, …, }, так чтобы никакие три из них не были коллинеарны и ни одна не лежала бы на квадрике, проходящей через 5 других. Обозначим через = { | ( ) = 0 = 1, 2, …, 6} пространство кубических форм на, задающих кривые, проходящие через наши 6 точек.

Рассмотрим отображение {,, …, } ( ), (5-10) которое отправляет точку {,, …, } в подпространство коразмерности 1 в, образованное всеми кубическими формами из, зануляющимися в точке. Покажите, что а) dim = 4 б) = {,, …, } есть кубическая поверхность в = ( )

в) отображение (5-10) продолжается до регулярного изоморфизма,,…, между и раздутием в заданных 6 точках.

г) Явно опишите 27 пучков плоских кубических кривых, которые проходят через точки,, …, и переводятся изоморфизмом (5-10) в 27 прямых на.

Задача 5.14 (двойная шестёрка Шлефли).

Рассмотрим в шесть прямых [0], [1], …, [5], таких что прямые [1], …, [5] попарно скрещиваются между собой и ни одна из них не касается квадрики, проведённой через любые 3 другие, а прямая [0] пересекается со всеми пятью прямыми [1], …, [5].

Верно ли, что:

а) = 1, …, 5 существует единственная прямая [ ] [0] такая, что [ ] [] б) [ ] [] = [ ] [ ] = для всех = 1, …, 5 и для всех

в) ни одна из прямых [1 ], …, [5 ] не касается и не лежит на квадрике, проходящей в частности, не лежит на ней Задачи к §5 через какие-нибудь 3 другие из этих прямых



Pages:     | 1 || 3 |
Похожие работы:

«ДОБРЫЧЕВА АННА АЛЕКСАНДРОВНА Парцелляция в прозе С. Довлатова: от предложения к тексту Специальность 10.02.01 – русский язык Диссертация на соискание ученой степени кандидата филологических наук Научный руководитель: доктор филологических наук, профессор Е. А. Стародумова Владивосток – 2012 Содержание Введение..4 Глава 1. Парцеллированные...»

«Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина Т. А. ШЕХОВЦОВА "У НЕГО НЕТ ЛИШНИХ ПОДРОБНОСТЕЙ." Мир Чехова. Контекст. Интертекст Монография Ха...»

«Социальная работа и гражданское общество Коллективная монография Электронный ресурс URL: http://www.civisbook.ru/files/File/socialqnaq_rabota .pdf Перепечатка с сайта НИУ-ВШЭ http://www.hse.ru 274 Журнал ис...»

«л. М. еРМАковА ермакова людмила Михайловна доктор филол. наук, заслуженный профессор Университет иностранных языков г. Кобэ Япония, 651-2102, преф. Хёго, г. Кобэ, Ниси-ку, Гакуэн Хигасимати, 9-1 Тел.: 81-78-794-8121 E-mail: erma...»

«ИСХАКОВ Рафаиль Лутфуллович ЭВОЛЮЦИЯ ТЮРКСКОЙ ПЕЧАТИ В XX ВЕКЕ: ОТ ЭТНИЧНОСТИ К ПОСТЭТНИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ (филологический анализ) Специальность 10.01.10 – Журналистика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандид...»

«284 ILLUSTRATION IN THE FIELD OF THE ARTISTIC TEXT (BY ARTEM VESELY’S PROSE) The article considers the realization of the Artem Vesely’s artistic strategy to the visualization of the prose. The new approach...»

«Непереводимости реальные и воображаемые Листая "Европейский словарь философий: лексикон непереводимостей" под ред. Б. Кассен (2004) Повсю сторонуреальности конкретныхоспособностей и где всё упиратеоретических споров переводе, там, ется принцип навыков конкретных людей, берущихся за перевод, существует формальный водор...»

«Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Филологический факультет Гусева Софья Сергеевна Номинативная парадигма единиц, обозначающих лица, и ее функционирование в тексте (на примере текстов А.П. Чехова...»

«УДК 8-83 КВАНТИТАТИВНЫЙ АНАЛИЗ ЖАНРОВОСТИЛИСТИЧЕСКОЙ СФЕРЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЛЕКСЕМ ТОЛЕРАНТНОСТЬ – ТЕРПИМОСТЬ Алаа Эль Бадри Аспирант кафедры иностранных языков и профессиональной коммуникации e-mail: alalwan1981@yahoo.com Курский государственный университет Сопоставляются жанрово-...»

«254 Вестник Чувашского университета. 2015. № 2 УДК 81’34(=811.112.6+512.145) ББК 81.2Афр+81.2Тат Р.Т. ЮЗМУХАМЕТОВ ИЗУЧЕНИЕ ФОНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЯЗЫКА АФРИКААНС В СРАВНЕНИИ С ТАТАРСКИМ ЯЗЫК...»

«ХАН ЧЖИ ХЕН ОСТРОЖСКАЯ БИБЛИЯ 1581 г.: НАПРАВЛЕНИЯ КНИЖНОЙ СПРАВЫ НОВОЗАВЕТНЫХ КНИГ Специальность 10.02.01 – русский язык Автор ефер ат диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Москва 2010 Работа выполнена на кафедре русского языка филологического факультет...»

«Борисова Елизавета Олеговна РУССКАЯ ЛЕКСИКА СО ЗНАЧЕНИЕМ БЫСТРОТЫ И МЕДЛИТЕЛЬНОСТИ В СЕМАНТИКО-МОТИВАЦИОННОМ АСПЕКТЕ Специальность 10.02.01 – русский язык Диссертация на соискание ученой степени кандидата филолог...»

«50 ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ О.А. КАКУРИНА СИСТЕМНО-ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ ПОДХОД ПРИ ФОРМИРОВАНИИ СОДЕРЖАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННЫМ ЯЗЫКАМ Раскрывается сущность системно-деятельностного подхода в обучении иностранным языкам; рассматривается языковая профессиограмма как часть модели специалиста. На современно...»

«КОНЦЕПТ "ВОСКРЕСЕНИЕ" В ПОЭТИЧЕСКОМ ЦИКЛЕ Б. ПАСТЕРНАКА "СТИХОТВОРЕНИЯ ЮРИЯ ЖИВАГО" Н.М. Дмитриева, О.А. Пороль Кафедра русской филологии и методики преподавания русского языка Оренбургский государственный университет пр. Победы, 13,...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" (СПбГУ) Рыженков Андрей Сергеевич "Солнечная" касыда Ахмета-паши Направление: 032100 "Востоковедение и африканистика" Выпускная к...»

«Лобанова Юлия Александровна РОЛЬ ЖЕНСКИХ АРХЕТИПОВ В МЕТАСЮЖЕТЕ ИНИЦИАЦИИ ГЕРОЕВ Ю. ОЛЕШИ Специальность 10.01.01 – русская литература АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Барнаул 2007 Работа выполнена на кафедре русской и зарубежной литературы ГОУ ВПО "Алтайский государстве...»

«Подгорбунская Ирина Геннадьевна ВЕРБАЛЬНО-ЖЕСТОВОЕ СИНЕРГИЙНОЕ ЕДИНСТВО В статье рассматривается соотношение невербальной и вербальной коммуникативной деятельности на примере речевых жестов с компонентом hand в современно...»

«Методические указания к курсу "Современная зарубежная литература" Профиль подготовки Отечественная филология Курс 4 семестр 8 Составитель: д. филол. н., доц. Г.В.Заломкина 2015/2016 уч. г. Система оценки знаний Экзаменационная оценка может быть выставлена в результате работы в течение семестра в соответствии...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ (БФ ФГБОУ ВО "ВГУ") УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой филологически...»

«УДК 811.512.122 БИЛИНГВАЛЬНОЕ РЕЧЕВОЕ ПОВЕДЕНИЕ ВРАЧА И ПАЦИЕНТА КАК ОДНА ИЗ ТЕНДЕНЦИЙ ЯЗЫКОВОГО РАЗВИТИЯ СОВРЕМЕННОГО ОБЩЕСТВА Ж.Т. Кысмуратова1, Н.Л. Чулкина2 магистрант кафедры общего и русского языкознания, доктор филологических наук, профессор кафедры общег...»

«КОНСТАНТИН ХАНЬКАН ТОМ 2 Повесть "Коси, коса, пока роса" Рассказы Магадан Издательство "Охотник" ББК 84 (2Рос=Эвы) Х 197 Рецензенты: М.А.Юрина –кандидатфилологическихнаук,доценткафедрылитературыСВГУ...»

«ЯЗЫКОЗНАНИЕ УДК 811.511.152 А. М. Гребнева ЦЕЛОСТНЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ СЛОВОСЛОЖЕНИЯ НОМИНАНТОВ МОРДОВСКИХ ЯЗЫКОВ В статье анализируются структурные типы словообразова...»

«Северо-Восточная олимпиада школьников по филологии (юкагирский язык и литература) второй тур 2016-2017 учебный год Демонстрационный вариант 6-7 классы (для учащихся, изучающих язык лесных юкагиров) 1. Задания по юкагирскому языку 1. Составьте тематическую группу слов на тему “Моя школа".2. Пе...»

«ПАНАСОВА Евгения Петровна Концепт СОЛНЦЕ в русском языке и речи 10.02.01 – русский язык АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Екатеринбург Работа выполнена на кафедре риторики и стилистики русского языка государс...»

«АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ Сравнительные оценки алгоритмов При использовании алгоритмов для решения практических задач проблема рационального выбора алгоритма. Решение проблемы выбора связано с построением системы...»

«Васильева Светлана Леонидовна, Мымрина Дина Федоровна МОТИВИРОВАННОСТЬ ТЕРМИНОВ СФЕРЫ БИОТЕХНОЛОГИЙ Статья посвящена проблеме изучения мотивированности терминов сферы биотехнологий на материале русского и английского языков. В статье прив...»

«ВВЕДЕНИЕ В ЯЗЫКОЗНАНИЕ для студентов вечернего отделения Автор программы к.ф.н. И.И.Богатырева Языкознание как научная дисциплина. Предмет языкознания. Понятие общего и частного...»

«ГАЛИНОВА Наталья Владимировна ЭТИМОЛОГО-СЛОВООБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ГНЕЗДА ПРАСЛАВЯНСКИХ КОРНЕЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ 'ГНУТЬ', 'ВЕРТЕТЬ', 'ВИТЬ' В ГОВОРАХ РУССКОГО СЕВЕРА Специальность 10.02.01 русский язык. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата филологиче...»







 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.