WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, |y i y0 | bi } Rn+1 определена функция i f f (x, y 1,..., y n ), (x, y) D. Необходимо найти решение dy = f (x, ...»

Численные методы решения задачи Коши

для обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Постановка задачи

Пусть в области D = {a x b, |y i y0 | bi } Rn+1 определена функция

i

f f (x, y 1,..., y n ), (x, y) D.

Необходимо найти решение

dy

= f (x, y) (1.1)

dx

удовлетворяющее начальному условию

y(x0 ) = y0. (1.2)

Обсуждаемые ниже численнные методы (одношаговые и многошаговые) известны как дискретные, т.е. такие методы, посредством которых вычисляется последовательность приближений yi y(xi ) на множестве точек xi+1 = xi + hi, i = 0, 1,..., N 1; xN = b, где hi 0 шаг сетки.

В большинстве рассматриваемых методов будем считать hi = h, h = const 0, i = 1, 2,....

Для облегчения изложения будем в дальнейшем рассматривать методы для скалярного случая (1.1) n = 1 и отдельно оговаривать их распространение на случай систем.

2. Одношаговые методы Одношаговые методы - методы которые последовательно дают приближения ym+1 к значениям точного решения y(xm+1 ) в каждом узле xm+1 сетки на основе известного приближения ym к решению в точке xm.

В общем виде их можно представить :

ym+1 = F (f, xm+1, xm, ym+1, ym ). (2.3) Надо отметить, что одношаговые методы вида (2.3) в правой части содержат искомое значение ym+1. Это позволяет ввести еще один параметр классифицирующий численные методы. Наличие в правой части представления метода в виде (2.3) зависимости от искомой функции ym+1 делает его неявным.



Отсутствие этой зависимости – явным, вида:

ym+1 = F (f, xm+1, xm, ym ). (2.4) О п р е д е л е н и е 1. Одношаговый метод (2.3) имеет порядок (точности) s, если для достаточно гладких задач (1.1), (1.2)справедливо неравенство y(xm+1 ) ym+1 C hs+1, C const.

2.1. Методы разложения в ряд Тейлора Предположим, что правая часть f (x, y) дифференциального уравнения dy = f (x, y) (2.5) dx имеет непрерывные частные производные до порядка s. Тогда искомое решение y(x) имеет непрерывные производные до s + 1 – ого порядка включительно. Точное значение решения в узле

xi+1, если известно точное значение решения в точке xi, запишем по формуле Тейлора:

h2 hs hs+1 (s+1)

–  –  –

Причем при совпадении (s + 1)-х первых членов рядов Тейлора для точного решения y(xi+1 ) и приближенного yi+1 метод имеет порядок s.

Для s = 1 и s = 2 получим расчетные схемы:

–  –  –

по которым можно последовательно получать приближенное решение {ym }.

Достоинства. Такие формулы не требуют вычисления дополнительных начальных условий и позволяют легко менять шаг интегрирования.

Недостатки. Их практическое применение ограничено лишь теми задачами, для которых легко вычисляются полные производные высшего порядка.

–  –  –

которую в дальнейшем будем называть методической погрешностью одношагового метода Рунге–Кутты.

Сделаем ряд предположений:

1) Считаем f (x, y) - достаточно гладкой функцией своих аргументов, и значит ki (h), (h), гладкие функции параметра h такие, что существуют производные (h), (h),..., (s+1) (h).

2) Параметры метода bi, ci, aij выбраны так, что

–  –  –

2.3. Практическая реализация явных одношаговых методов типа РунгеКутты решения задачи Коши Полагаем, что в нашем вычислительном процессе погрешностью округления и неустранимой погрешностью можно пренебречь.





Оценки погрешностей необходимы, с одной стороны, чтобы обеспечить длину шага h, достаточно малую для достижения требуемой точности вычисляемых результатов, а с другой стороны – чтобы гарантировать достаточно большую длину шага во избежание бесполезной вычислительной работы.

Метод Рунге оценки полной погрешности.

Полагаем, что в точке xn по m этапному методу (2.11) s го порядка с постоянным шагом h вычислено приближенное решение yn исходной задачи Коши.

Для представления полной погрешности метода справедливо равенство:

–  –  –

3. Многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

3.1. Общая схема многошаговых методов решения задачи Коши (1.1), (1.2) имеет вид:

–  –  –

О п р е д е л е н и е 7. Говорят, что метод из класса (3.24) удовлетворяет корневому условию, если все корни характеристического полинома () лежат внутри единичной окружности или на самой окружности, причем те корни, которые лежат на единичной окружности, являются простыми.

Если метод согласован, то () обязательно имеет корень 1 = +1.

Корни характеристического полинома классифицируются следующим образом:

• 1 = +1 – главный корень;

• |i | 1 i = 2, 3,..., k – посторонние корни.

О п р е д е л е н и е 8. Метод удовлетворяющий корневому условию будем называть нульустойчивым.

Согласованность – определяет величину погрешности аппроксимации, нуль-устойчивость – определяет характер развития этой и других погрешностей в пределе при h 0, N h = xk x0.

Теорема Метод из класса (3.24) сходится тогда и только тогда, когда он является согласованным и нульустойчивым.

Теорема Порядок s нуль-устойчивого линейного k -шагового метода подчиняется следующим ограничениям

• s k + 2 при четном k,

• s k + 1 при нечетном k.

Достоинства ЛММ.

- порядок аппроксимации не зависит от количества вычислений правой части;

- оценка погрешности не требует дополнительных вычислений правой части.

Недостатки ЛММ.

- реализация требует при старте и смене шага использования одношагового метода;

- смена шага сопряжена с большими вычислительными затратами.

–  –  –

По сравнению со случаем одного уравнения n = 1 при построении одношаговых правил типа Рунге–Кутты в случае системы n 1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка представляются еще большие возможности в получении различных расчетных схем одного и того же порядка точности, так как число свободных параметров при этом сильно возрастает.

Эти возможности реализуют крайне редко. Объяснение простое: для правых частей самого общего вида соотношение между числом этапов и наивысшим достижимым порядком точности остается m = s, m 4.

прежним Поэтому, когда все уравнения системы можно считать равноправными, параметры метода bij = bi, cij = ci, aij = aij и число этапов Mi = m выбирают одинаковыми для всех компонент искомой вектор-функции. Это сокращает число параметров, а значит, сужает возможности в построении расчетных схем одного порядка точности. Но зато значительно упрощается как

Похожие работы:

«I.Пояснительная записка Рабочая программа начального общего образования по изобразительному искусству разработана в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного...»

«Руа 6: школа дл Уроки Гоянии спустя десятилетия определяют действия в области радиационной безопасности и сохранности. Д ве семьи живут и работают на складе металлолома по адресу: Руа 6 в бразильском городе Гоянии. Все они занимаются сортиров...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РАСПОРЯЖЕНИЕ от 30 ноября 2013 г. № 2228-р МОСКВА О подписании Соглашения между Правительством Российской Федерации и Правительством Республики Армения о сотрудничестве в сфере поставок природного газа, нефтепродуктов и необработанны...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тамбовский государственный университет имени Г.Р...»

«Электронный архив УГЛТУ ЭКО-ПОТЕНЦИАЛ № 1 (13), 2016 139 УДК 9.903.07 А.А. Клёсов Академия ДНК-генеалогии, г. Ньютон, шт. Массачусетс, США Попытка создания ДНК генеалогии Иосифа, Девы Марии и Иисуса Христа Опубликовано в электронном журнале "Переформ...»

«Ахмерова Эльвира Салаватовна ТЕКСТ КАК ОБЪЕКТ ЛИНГВИСТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ Статья раскрывает содержание понятия текст и его ключевые характеристики. Основное внимание в работе автор акцентирует на к...»

«М.А. Писаревская ПРОБЛЕМА ОДИНОЧЕСТВА В ПОДРОСТКОВОМ ВОЗРАСТЕ Проблема одиночества всегда волновала человечество, занимая умы ученых, писателей, философов. В последнее время этой проблеме посвящаются все новые работы, исследующие сущнос...»

«ёФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)" УТВЕРЖДАЮ Ректор ФГБОУ ВПО "СибАДИ" В.Ю. Кирничный "" _ 2012 г. СИСТЕМА МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕС...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.