WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«проф. Смиряев А.В. Лекции по теории планирования эксперимента Тема 2. Использование регрессионных моделей Планирование многофакторных экспериментов с количественной градацией ...»

проф. Смиряев А.В.

Лекции по теории планирования эксперимента

Тема 2. Использование регрессионных моделей

Планирование многофакторных экспериментов с количественной градацией

изучаемых факторов. Полный и дробный факторный эксперименты, их

характеристики. Проверка значимости коэффициентов регрессии и

адекватности регрессии. Оптимизация многофакторных процессов.

Использование регрессионных моделей в экстремальных экспериментах.

По характеру все модели объектов (процессов) могут быть подразделены на теоретические (аналитические) и эмпирические. Первые основаны на некоторых предположениях о механизмах процессов. Подобные модели были рассмотрены в разделе «Динамика биологических систем»

учебного пособия по моделированию.

Но часто изучаемые объекты (процессы), например, в биологии и сельском хозяйстве, сложным образом зависят от нескольких взаимодействующих входных факторов и не имеют сколько-нибудь четкой теории о механизмах их функционирования. В этих случаях вынужденно используют эмпирические модели, где исследуемый объект представляется т.н. «черным ящиком», на который воздействуют факторы xi (внешние управляемые воздействия). Фиксируют выходные параметры (отклики объекта – yi) т.е. ответную реакцию на эти входные воздействия.

Каждый входной фактор xi может принимать определенное количество значений, называемых уровнями факторов. Множество возможных уровней фактора xi называется областью его определения. Эти области могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными.

Предполагается возможность управления факторами: либо поддерживать их на заданном уровне, либо изменять по программе. Т.е. предполагается возможность постановки активного эксперимента с объектом.

К исследуемым выходным параметрам (yi) также предъявляют ряд требований.

Они должны быть:

- эффективными, то есть способствовать скорейшему достижению цели исследования;

- универсальными – быть характерными не только для исследуемого объекта, чтобы впоследствии можно было сопоставлять разные объекты и их модели;

- статистически однородными, то есть определенному набору значений входных факторов xi должно соответствовать определенное значение выходных параметров yi с точностью до погрешности эксперимента;

- легко вычисляться и иметь физический смысл;

- существовать при любом состоянии объекта.

Мы ограничимся рассмотрениям моделей с одним выходным параметром (y). Геометрический аналог выходного параметра (функции отклика) называется поверхностью отклика.

Типичным примером подобных эмпирических моделей является полиномиальная регрессионная зависимость выходного параметра y от xi – набора входных факторов.

Например, полином 2-й степени – квадратичная модель зависимости отклика y от двух входных параметров:

y=b0+b1x1+b2x2+b12 x1x2+b11 x12+b22 x22.

Подобные уравнения, по существу, являются первыми членами разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика сложного объекта.

Предполагается, что нескольких первых членов ряда Тейлора будет достаточно для адекватной аппроксимации этой неизвестной сложной зависимости y от xi. Если статистическая проверка подтвердит адекватность, то подобная эмпирическая зависимость станет дескриптивной моделью, пригодной для предсказания значений отклика y в тех условиях xi, где опыты не проводили, а также для проверки теоретических представлений (гипотез) о наборе входных переменных, степени их влияния на выходной параметр, характере их взаимодействия. Кроме того подобные эмпирические зависимости пригодны для решения оптимизационных задач, т.е. для поиска оптимальных значений xi, обеспечивающих максимум или минимум выходного параметра y.

Следовательно, при построении подобных эмпирических регрессий возникает комплекс задач: подбор по возможности простого полинома;

планирование и реализация активного эксперимента, где в отдельных опытах задаются разные наборы значений xi и фиксируются отклики y; оценка по результатам эксперимента коэффициентов b регрессии; проверка адекватности полученной эмпирической модели и т.п. Именно эти задачи будут обсуждаться далее.

Множество точек факторного пространства {xi}, в которых проводится активный эксперимент, представляется с помощью плана эксперимента.

Теория планирования эксперимента предложила подходы, позволяющие значительно увеличить точность эмпирических моделей при минимальном объеме опытов. Поясним некоторые подходы с помощью простого примера – задачи на взвешивании предметов А, В и С.

Традиционно экспериментатор стал бы взвешивать предметы по следующей схеме из четырех опытов. Вначале необходимо провести «холостое взвешивание» без предметов, чтобы определить нулевую точку весов, затем по очереди – каждый из предметов по отдельности.

Таблица 1.

Предметы Номер Результат опыта взвешивания А В С 1 -1 -1 -1 y0 2 +1 -1 -1 y1 3 -1 +1 -1 y2 4 -1 -1 +1 y3 Вес каждого предмета оценивается по результатам двух опытов, например, для предмета А:

А=y1-y0.

Известно, что кроме систематической ошибки весов, которую удается компенсировать с помощью результата «холостого взвешивания» (y0), существует случайная ошибка любого взвешивания с дисперсией 2(y).

Поэтому дисперсия ошибки веса любого предмета, например,

–  –  –

Легко убедиться, что вес каждого объекта будет задаваться формулой со следующей структурой:

А=(- y'1 + y'2 - y'3 + y'4 )/2= =(-С-y0 + А+y0 - В- y0 + А+В+С+y0)/2=(2А)/2 В=(- y'1- y'2+ y'3+ y'4)/2 С=(+ y'1- y'2- y'3+ y'4)/2

Найдем теперь дисперсию случайной ошибки оценки веса предмета А:

–  –  –

Аналогично дисперсии случайных ошибок оценок веса предметов В и С в два раза меньше, чем при традиционном эксперименте по взвешиванию, хотя число опытов по прежнему четыре. Причина в том, что при традиционной схеме вес каждого предмета оценивался по двум опытам, в новом варианте схемы – уже по среднему значению четырех взвешиваний. В последнем случае оперируют всеми факторами (предметами взвешивания) так, чтобы каждый вес вычислялся по результатам всех четырех опытов серии. Эту схему можно назвать многофакторной: здесь оперируют всеми входными факторами (тремя предметами) так, чтобы вес каждого предмета затем вычислялся по результатам («откликам» y') всех четырех опытов эксперимента.

Та же идея применима в значительно более сложных и трудоемких экспериментах. Например, выход некоторого ценного продукта (y) линейно зависит от трех переменных – внешних факторов, влияющих на моделируемый процесс биосинтеза: x1, x2, x3. Это могут быть температура, давление и концентрация субстрата.

Необходимо по результатам эксперимента, состоящего из нескольких опытов, оценить с минимально возможной ошибкой коэффициенты b регрессии – линейной эмпирической модели:

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3.

Если удастся подобрать оптимальный план эксперимента, то ошибки оценок выходной переменной (y) также будут минимально возможными.

Каждый входной фактор (переменную x) в эксперименте будем варьировать только на двух уровнях, условно обозначенных далее через «-1»

и «+1» или просто «-» и «+». Так, если температура в наших опытах принимает два значения 1000 и 2000, то нижний уровень обозначим «-1», верхний – «+1». Геометрической интерпретацией подобного подхода для двух входных факторов является квадрат в факторной плоскости (рис. а), для трех – куб (рис. б). Здесь нормированные координаты x1 и x2 проходят через точку пересечения средних уровней факторов, и масштаб их осей выбран так, чтобы интервал варьирования равнялся 1. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вершинами квадрата (куба), центром которого является средние уровни входных факторов.

Задание. На рисунке б укажите номера вершин куб, соответствующих плану эксперимента из табл. 2.

С целью перевода всех факторов в подобный масштаб делают преобразование начала координат факторов, т.е. переходят к нормированному (стандартному) масштабу

–  –  –

Задание. Объясните, сколько опытов в этом плане активного эксперимента следует провести, и на каких уровнях (верхнем или нижнем) в каждом опыте поддерживать входные факторы.

–  –  –

Здесь xij – нормированные значения входных факторов, т.е. «+1» или «-1» из i–го столбца j–й строки-опыта плана из табл. 3, 2(y) - дисперсия случайной ошибки измерения выходного параметра y в одном опыте.

Оценки bi конечно можно получить и по традиционной однофакторной схеме, где в каждом из четырех опыте только один из трех входных переменных фиксируется на верхнем уровне «+1», а остальные – на своих нижних уровнях «-1» (как в традиционной схеме взвешивания).

Однако в этом случае дисперсия ошибки каждого коэффициента будет в два раза больше:

2(bi)=2(y)/2.

Продолжая эти рассуждения можно показать: чем больше входных факторов-переменных, тем больше выигрыш по точности экспериментальных оценок коэффициентов в эмпирической моделирегрессии. Например, если переменных семь (x1, x2,…, x7), то случайной дисперсия ошибки каждого из восьми коэффициентов: 2(bi)=2(y)/(7+1). В общем случае при n входных переменных 2(bi)=2(y)/(n+1), если же использовать традиционную схему эксперимента, по-прежнему, (bi)= (y)/2. Конечно, с увеличением числа переменных увеличивается и необходимое число опытов.

Линейной множественной регрессии далеко не всегда достаточно для адекватного описания изучаемого объекта (процесса). Аналогичный подход с успехом используется и при более сложной, нелинейной структуре эмпирических регрессионных моделей. В частности, разработаны соответствующие экспериментальные планы для т.н. регрессионных моделей первого порядка, где учитываются не только влияния основных факторов (xi), но также их возможные взаимодействия.

Например, в зависимости от взаимодействия температуры (x1) влияние давления (x2) на выходной параметр-отклик (y) может быть разным.

Тогда регрессия с двумя входными переменными (x1, x2) с учетом их взаимодействия, выраженного через произведение x1x2, имеет вид:

–  –  –

Соответствующий план эксперимента представлен в табл.4. Его структура полностью совпадает с планом табл. 3, но вместо b3 для третьей входной переменной x3 оцениваем b12 для взаимодействия двух факторов.

–  –  –

Для трех входных переменных и всех их взаимодействий регрессионная модель первого порядка выглядит следующим образом:

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12 x1x2+b13 x1x3+b23 x2x3 +b123 x1x2x3.

В табл. 5 представлен насыщенный план для оценки восьми коэффициентов этой регрессии.

–  –  –

Подобные планы экспериментов легко построить для любого числа факторов-переменных. Они называются полными факторными экспериментами (ПФЭ), т.к. в них реализуются все возможные сочетания уровней факторов (в табл. 5 для трех – x1, x2, x3). При этом знаки в столбцах для взаимодействий получают перемножением знаков взаимодействующих факторов.

Кратко опишем алгоритм использования ПФЭ с примером.

Прежде всего, отметим, что, несмотря на значительный выигрыш в точности оценки коэффициентов регрессий, при использовании насыщенных планов адекватность полученных моделей проверить нельзя. Дело в том, что, во-первых, все результаты (yi) эксперимента использованы для оценивания коэффициентов регрессии. Для оценки отклонений ее предсказаний от реальных экспериментальных данных нет степеней свободы. По-существу, эти отклонения в насыщенных планах как бы отсутствуют – они не видны.

Во-вторых, все данные-отклики (yi) имеют, как предполагается, случайные ошибки. Для проверки адекватности модели необходимо сравнить отклонения ее предсказаний от реальных экспериментальных данных с этими ошибками, например, по критерию Фишера. Если отклонения не значимо выше случайных ошибок, то модель считается адекватной и пригодной для практического использования.

Но, обычно, дисперсия случайной ошибки опыта неизвестна. Для ее оценки необходимо проводить дополнительные опыты. По ним удастся оценить случайную ошибку параметра y и сравнить ее с отклонениями предсказаний по модели. Итак, в насыщенных планах для проверки адекватности не остается данных.

Один из основных способов оценки случайных ошибок – проведение для каждого сочетания уровней входных факторов не одного, а нескольких (K) опытов с использованием, по возможности, принципа рандомизации.

В результате получают не одно (yi), а K значений (yi1, yi2, …, yiK) исследуемого выходного параметра, для которых затем находят среднее значение:

Далее проводят проверку т.н. воспроизводимости опытов. Опыт считается воспроизводимым, если дисперсия выходного параметра yi однородна (одинакова по величине) при каждом сочетании уровней входных факторов.

Сначала оценивают дисперсию Syi случайной ошибки выходного параметра y для каждой сочетания по обычной формуле:

Нулевую гипотезу однородности дисперсий проверяют с помощью критерия Кохрена.

Расчетное значение этого критерия определяют по формуле:

Критическое значение критерия Кохрена Gкр находят из специальной таблицы по числу степеней свободы числителя f=K-1, знаменателя f=N (число сочетаний уровней входных факторов в плане) и уровню значимости q. Если GрGкр, нулевая гипотеза об однородности дисперсий принимается, в противном случае – отвергается. Тогда эксперимент необходимо повторить, изменив условия его проведения (набор входных факторов, интервал их варьирования, точность измерительных приборов и пр.).

Затем, если однородность доказана, проводят анализ значимости каждого коэффициента bi полученной регрессионной модели. Это эквивалентно проверке значимости влияния каждого входного фактора и каждого взаимодействия на изменчивость выходного параметра y. Гипотезу о статистической значимости (отличии от нуля) коэффициента проверяют по критерию Стьюдента.

Расчетное значение tp этого критерия определяют как частное от деления модуля коэффициента bi на оценку его среднеквадратического отклонения Sb:

В ПФЭ оценки всех коэффициентов уравнения регрессии независимо от их величины вычисляются с одинаковой погрешностью (при выполнении условия воспроизводимости опытов):

где Sy – усреднения по N оценка дисперсии воспроизводимости эксперимента Критическое значение критерия tкр находят из таблицы распределения Стьюдента по числу степеней свободы f=N(K–1) и уровню значимости q.

Если tptкр, гипотеза о значимости коэффициента bi принимается: влияние соответствующего входного фактора или взаимодействия считается существенным. В противном случае коэффициент считается незначимым и приравнивается нулю: влияние отсутствует. Однако необходимо помнить, что незначимость коэффициента может быть обусловлена и неверным выбором интервала варьирования фактора. Поэтому иногда бывает полезным расширить интервал варьирования фактора и провести новый эксперимент.

Для проверки гипотезы об адекватности модели необходимо сравнить две дисперсии.

I) Дисперсия неадекватности, зависящая от разности между значениями yip, рассчитанными по модели, и экспериментальными результатами, усредненным по повторениям ( у j ):

где L – число оставшихся (значимых) коэффициентов исследуемого уравнения регрессии, не считая b0. То есть, при выявлении незначимых коэффициентов регрессии в насыщенном плане «высвобождаются» N-L степеней свободы, и данные опытов можно использовать для оценки дисперсии неадекватности.

Другой способ – получить оценку дисперсии неадекватности можно по данным нескольких повторений, проведенных в каждом сочетании входных факторов:

II) Дисперсия воспроизводимости эксперимента, характеризующая случайные ошибки выходных наблюдений:

Подчеркнем, что дисперсия погрешности наблюдений может быть оценена путем сравнения результатов нескольких повторенных опытов, проводимых в каждой экспериментальной точке насыщенного плана.

Наконец, адекватность модели проверяется по F – критерию Фишера.

Его расчетное значение находят как частное от деления оценки дисперсии неадекватности на оценку оценки дисперсии случайной ошибки опытов:

Критическое значение Fкр находят из таблицы распределения Фишера по числу степеней свободы числителя f=K(N–L), знаменателя f=N(K–1) и уровню значимости q. Если FрFкр гипотеза об адекватности отклоняется.

Как правило, вначале проверяют адекватность простой линейной модели без взаимодействий. Если предположение об адекватности подтверждается, то в качестве окончательной модели выбирают линейную;

если отклоняется – добавляют эффекты значимых взаимодействий и вновь проверяют гипотезу. Если в результате модель все же оказалась неадекватной, это говорит о том, что тип математической модели выбран неудачно. Следует использовать более сложные эмпирические регрессионные модели, например, квадратичные.

Пример 1 (Грачев, Плаксин, 2005) Получить регрессионное уравнение по следующим результатам плана ПФЭ 23, представленным в табл. 6. Здесь S2(yku) – оценка дисперсии случайной ошибки в опыте; 9-й опыт проведен в центре эксперимента.

Таблица 6

1. Рассчитаем результаты-отклики, средние по повторениям:

2. Оценим коэффициенты регрессии:

Получаем уравнение регрессии:

3. Рассчитываем оценки дисперсий по данным в повторениях:

Подобным образом рассчитаны оценки дисперсий S2 с 3-я степенями свободы для остальных семи опытов плана и для опыта в центре эксперимента (см. таблицу 6).

4. Проверяем однородность этих дисперсий (воспроизводимость опытов):

Поскольку G Gкр, то оценки однородны.

5. Средняя оценка дисперсии (с учетом опыта в центре эксперимента):

c числом степеней свободы:

f=(N+1)(m-1)=27

6. Оценка дисперсии ошибки среднего по 4-м повторениям:

7. Оценка дисперсии ошибки любого коэффициента регрессии:

8. Плечо доверительного интервала этой ошибки:

следовательно, незначимо отличается от нуля только один коэффициент регрессии: b123=0,623,65. Тройное взаимодействие можно исключить из уравнения регрессии.

9. Оценка дисперсии неадекватности оставшейся части регрессионной модели проводится за счет одной высвободившейся степени свободы (с учетом незначимости тройного взаимодействия):

10. Проверка адекватности по критерию Фишера:

.

Следовательно регрессионная модель без тройного взаимодействия адекватна и может быть использована для дальнейшего анализа изучаемого процесса.

Смысл взаимодействия виден на примере 8,12x1x2: выход продукта увеличивается на 8,12 единиц при сочетании x1 =+1, x2 =+1 или при сочетании x1 =-1, x2 =-1; уменьшается на 8,12 единиц при x1 =+1, x2 =-1 или x1 =-1, x2 =+1.

–  –  –

Дробный факторный эксперимент. С учетом объема априорной информации об изучаемом объекте для многих практических задачах в эмпирические регрессионные модели включают не все, а лишь некоторые взаимодействия первого порядка, иногда взаимодействия второго порядка и очень редко взаимодействия выше третьего порядка. Кроме того, на первых этапах исследования часто необходимо получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию поведения изучаемого объекта при минимальном числе экспериментов.

Так, для трех факторов вместо уравнения y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13 x1x3+b23 x2x3 +b123 x1x2x3 вначале достаточно рассмотреть уравнение вида:

–  –  –

где нужно определить только четыре коэффициента. Поэтому использовать ПФЭ для определения коэффициентов только при трех линейных членах не эффективно из-за реализации большого числа опытов, особенно при значительном числе входных факторов.

Если при решении задачи можно ограничиться линейным приближением, то в ПФЭ оказывается много "лишних" опытов. Так, для трех факторов достаточно 4 опыта, а в ПФЭ их 8. Следовательно, есть четыре "лишних". Результаты этих "лишних" опытов могут быть использованы двояко: во-первых, с их помощью можно получить более точные оценки коэффициентов регрессии; во-вторых, их можно использовать вместо повторений опытов для проверки адекватности линейной модели. Однако, например, при 7 факторах ПФЭ содержит 27=128 опытов, а для оценки коэффициентов линейного уравнения требуется всего 8. Таким образом, остается 120 лишних, и конечно, нет необходимости их все реализовать, а достаточно лишь несколько из них использовать для проверки адекватности и уточнения оценок.

Другими словами, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли сократить число опытов необходимых для определения коэффициентов регрессии?. Так, для определения коэффициентов уравнения

–  –  –

достаточно ограничится четырьмя опытами, если в матрице плана ПФЭ 23 (табл. 4) использовать столбец х1х2 в качестве столбца плана для х3. Матрица планирования эксперимента примет вид, представленный в табл. 7.

–  –  –

Заметим, что здесь использованы не все точки с "крайними" координатами для трех входных факторов, т.е. ±1, или говоря другими словами, не все возможные комбинации выбранных уровней. В самом деле, из всех возможных комбинаций 23=8, мы использовали только 4.

Подобные сокращенные планы — носит название дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Следует подчеркнуть, что формальное приравнивание взаимодействия (произведения) факторов дополнительному фактору (в данном случае x3), не входящему в это произведение, является основополагающей идеей метода ДФЭ. В данном примере используется только половина ПФЭ 23. Поэтому план, представленный в табл. 7, называется полурепликой от ПФЭ 23 или ДФЭ 23-1. После реализации четырех опытов этот насыщенный план даст оценку всех четырех требуемых коэффициентов линейной регрессии y=b0+b1x1+b2x2+b3x3.

Аналогично, матрица из 8 опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от ПФЭ 24, (ДФЭ 24-1) а для пятифакторного планирования достаточно четвертьреплики от 25 (ДФЭ 25-2) и т.д. При этом число опытов всегда должно быть не меньше числа коэффициентов.

В заключении отметим, что в пакетах статистических программ, например Statistika, есть каталоги различных планов ПФЭ и ДФЭ, а также программы соответствующих расчетов коэффициентов эмпирических регрессионных моделей, проверок их адекватности и пр.

Методы сокращения числа входных факторов. Зачастую в начале исследования неясно, какие входные факторы (xi) существенно влияют на выходной параметр y. Входных факторов может быть слишком много, и включить их все в эмпирическую модель невозможно.

Какой бы удачный план эксперимента ни применить потребуется огромное число опытов:

проявляется т.н. кризис размерности.

Разработан ряд методов предварительного сокращения числа входных факторов. Рассмотрим один из них – экспертный метод ранговой корреляции. Он основан на систематизации и обобщении знаний и опыта ведущих специалистов-экспертов в конкретной области исследования.

Необходимые выводы делаются на основании их опроса и обобщения мнений.

Исследование по методу ранговой корреляции состоит из нескольких операций. Сначала составляется список факторов. При этом желательно учесть все факторы, подозреваемые в том, что они влияют на изучаемый процесс. Эти факторы нумеруются в произвольном порядке. Затем составляется список специалистов-экспертов, мнение которых представляет интерес для исследования. Составляется таблица, где в каждой строке стоит название фактора, а в каждом столбце номер специалистаэксперта. Например, число опрошенных специалистов m = 25 (каждому из них присвоен определенный номер), число факторов-строк таблицы n = 14.

Каждому специалисту по отдельности вручается анкета-список факторов и предлагается пронумеровать их в порядке важности – т.е.

присвоить фактору ранг. Результаты анкетирования переносятся в общую таблицу. Поскольку мнению каждого специалиста отведен свой столбец, ясно на какое место по степени важности он поставил каждый фактор. По каждой строке (ранги конкретного фактора) подсчитывается сумма рангов (суммируется мнение всех 25 специалистов о важности конкретного фактора). При этом первое место присваивается тому фактору, у которого сумма рангов ниже. Так проводится априорное ранжирование факторов на основе обобщения мнений экспертов.

Итак, результатом априорного ранжирования факторов является коллективная ранжировка. Этот результат проверяется по двум критериям, один из которых характеризует согласованность мнений специалистов, а другой достоверность. Для такой проверки необходимо, прежде всего, определить среднее значение суммы рангов всех факторов, которое равно аср=0,5 m(n+1).

В примере аср = 0,52515 = 187,5 После этого в специальный столбец таблицы заносится di – отклонение от среднего (аср), которое определяется как разность между суммой рангов в данной строчке таблицы (для i-го фактора) и значением аср. В следующий

–  –  –

Табличное значение 2т определяется в зависимости от чисел степеней свободы df=n-1 для определенного уровня значимости. Если расчетный критерий больше табличного, то результатом анализа экспертных оценок пользоваться можно – мнения специалистов о входных факторах достаточно сходны. Появляется возможность оценить последовательность факторов по степени важности (по суммарному рангу) и выбрать факторы наиболее важные для дальнейших более глубоких исследований.

Задание. Составить гипотетический пример опроса 6 экспертов по 8 факторам, внести результаты в таблицу и проверить возможность использования мнения экспертов для выбора наиболее важных факторов.

Существуют другие, более сложные статистические методы предварительного сокращения числа входных факторов, требующие проведения предварительных т.н. отсеивающих экспериментов с самим объектом исследования. x Методы поиска оптимального решения. Во многих научных и прикладных исследованиях перед экспериментатором возникает задача не только построить дескриптивную модель процесса – т.е. выявить характера связи между двумя или несколькими рядами наблюдений (входные факторы и выходными параметрами). Требуется также найти такие численные значения факторов, при которых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения (максимума или минимума). Например, выявить оптимальных условий протекания процесса, максимальной продуктивности, минимальных материальных и энергетических затрат, наивысшего качества продукции.

На основе теоретического анализа процессов при наличии достаточной информации об их механизмах можно составить детерминированную математическую модель объекта. Затем применяют, например, известный математический аппарат линейного программирования. Однако, как уже отмечалось, при проведении большинства исследований механизмы процессов, протекающих в сложных объектах, остаются неизвестными.

Кроме того, значение выходного параметра (y) может нести значительные случайные ошибки. Поэтому необходимо строить эмпирические модели с использованием методов математической статистики, включающие теорию планирования экспериментов Эксперименты, решающие подобные задачи, называются экстремальными. Формально задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом: требуется определить такие координаты экстремальной точки (x1*, x2*,..., xn*), где значение поверхности отклика y=f(x1, x2,..., xn) максимально (минимально): max y(x1, x2,..., xn)=y(x1*, x2*,..., xn*). Графическая интерпретация задачи оптимизации процесса, например, при двух входных факторах y(x1, x2), представлена на рис 1. Здесь точка А соответствует оптимальным значениям факторов x1* и x2*, обеспечивающим максимум функции отклика (max y).

Рисунок 1

Рассмотрим несколько подходов к решению этой задачи.

Метод Зайделя-Гаусса. Для простоты ограничимся примером двухфакторного эксперимента. На рис. 2 представлены замкнутые кривые равного уровня исследуемого отклика y=f(x1, x2)=B=const в плоскостях входных факторов x1 и x2.

Пусть эксперимент начинается в точке А, с варьирования фактора x1.

Шаг вправо даёт уменьшение у. Поэтому в эксперименте с определенным «шагом» осуществляется движение вдоль линии 1-1 до тех пор, пока у растет и достигнет максимума в точке В. После этого направление движения меняется и оно происходит вдоль оси x2. Т.к. уменьшение x2 ведет к уменьшению у, то движение идет в сторону увеличения x2 и достигает максимума в точке С. После этого направление движения снова изменяется и оно продолжается до локального максимума в точке Д и т.д. Таким образом, суть метода состоит в поочередном варьировании каждого фактора до достижения локального экстремума.

–  –  –

Преимущество метода – его простота, а недостаток – низкое быстродействие: требуется слишком много экспериментов. Кроме того, нет гарантии, что таким способом удастся выйти на глобальный максимум (минимум) выходного параметра y.

y x2 u1 u2 x1 Рисунок 3 Действительно, выходной параметр может иметь несколько локальных (местных) экстремумов, например, на рис. 3 – в точках u1 и u2 (точка х называется точкой локального экстремума, если в ней значение функции больше, чем значение этой функции в достаточно малой окрестности этой точки). Один из способов поиска глобального максимума – несколько раз начинать поиск из новой точки пространства входных переменных, хотя и он не дает гарантии.

Метод сканирования предусматривает полный перебор всех возможных вариантов. Чтобы их число было конечным, метод должен быть дискретным. Применительно к двухфакторному эксперименту (рис. 4) это означает, что факторы x1 и x2 приобретают лишь определенные значения, которые могут характеризоваться неименованными величинами или просто номером. Иными словами опыт может ставиться лишь в узлах решетки, создаваемой дискретными значениями факторов.

Для полного перебора всех точек в эксперименте движение можно начать из начала координат и двигаться вдоль одного из факторов, например x1. При достижении точки с координатами [9.0] мы проводим опыт в точке [9.1] и дальше перемещаемся вдоль x1 в обратную сторону. Полная траектория движения, обеспечивающая перебор всех точек, показана на рис.

4 жирной линией.

Рисунок 4

Значения у во всех точках сравниваются между собой и выбирается наибольшее (или наименьшее). Преимущество метода заключается в том, что он позволяет найти глобальный оптимум. Недостатки метода - малое быстродействие, а также резкое увеличение числа экспериментальных точек при большем числе входных переменных.

Метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона). Рассмотрим случай, когда на систему оказывают влияние только два фактора (х1 и х2 в безразмерном масштабе ±1). Очевидно, что путь к экстремуму по ломаной кривой в методе Зайделя-Гаусса (рис. 2) не является оптимальным.

Кратчайшим, наиболее «крутым» путем достижения экстремума будет движение из точки L по т.н. градиенту – перпендикулярно изолиниям y=const (на рис. 5 б этот путь показан пунктирной линией).

Для реализации движения в направлении подобных линий Бокс и Уилсон предложили шаговый метод движения по поверхности отклика.

Сперва в окрестности точки L ставится ПФЭ или ДФЭ для локального и приблизительного описания поверхности отклика, например, линейным уравнением регрессии:

Движение из точки L начинается в направлении градиента этого линейного приближения. Направление такого движения определяется аналитически и продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост y. В точке с наибольшим значением y (точка R – центр нового плана) ставится очередная серия опытов, строится новая регрессионная модель и определяется новое направление движения по поверхности отклика. Такой шаговый процесс продолжается до достижения области, близкой к экстремуму.

Рисунок 5

Значительный выигрыш в достижении минимума (максимума) поверхности отклика можно получить, если учесть в регрессии взаимодействие факторов (если оно существенно). На рис. 6 сравниваются два варианта движения по градиенту к максимальному значению отклика.

Первый вариант – с использованием только линейной части аппроксимации (линия I на рис.

6):

, второй с учетом значимого взаимодействия двух факторов (линия II):

.

–  –  –

Кроме названных, существуют более сложные методы и программы поиска экстремума, также основанные на построении эвристических регрессионных моделей (Грачева, Плаксина, 2005).

Статьи – примеры применения ПФЭ и ДФЭ (интернет) ПФЭ: А. В. Барков, М. И. Шуктуева и др. Использование методов оптимизации питательных сред для выявления штаммов базидиомицетов, активно утилизирующих липиды. Башкирский химический журнал. 2013.

Том 20. № 4, стр. 98-104 ДФЭ: Л.Н. Ларина, Н.М. Павлова и др. Оптимизация биосинтеза ксиланазы микроскопическим грибом Trichoderma viride. ж. Биотехнология, 2005, № 4, стр. 29-37.

–  –  –

1. Грачев Ю.П., Плаксин Ю.М. Математические методы планирования экспериментов. Учебное пособие. М.: ДеЛи принт. 2005. – 294 с. Библиотека РГАУ-МСХА

2. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Монография. М.: Мир. 1981. – 516 с. Кафедра

3. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971, - 208 с.

4. Рыков В.В., Иткин В.Ю. Математическая статистика и планирование

Похожие работы:

«Родина В. В.В Л А С Т Ь И Э К О Н О М И КА Особенности формирования международного имиджа российской промышленности Родина Валерия Владимировна Референт заместителя Министра промышленности и торговли Российской Федерации Кандидат политических наук РЕФЕРАТ Вопросы формирования ме...»

«Необходимо?! автомобили с пробегом купить нижний новгород Необходима информация про автомобили с пробегом купить нижний новгород или может про продажа автомобилей с пробегом в москве и московской области с фото? Познай про автомобили с пробегом купить нижний новгород на сайте. Только если Вы реально заинтересованы в наил...»

«Дергачёв. А.В., Сидорин А.В. Основанный на резюме метод реализации произвольных контекстночувствительных проверок при анализе исходного кода посредством символьного выполнения. Труды ИСП РАН, том 28, вы...»

«ПЛАН-КОНСПЕКТ. ТЕМА 12. АНАЛИЗ РАЗМЕЩЕНИЯ КАПИТАЛА И ОЦЕНКА ИМУЩЕСТВЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ Вопросы: 1. Анализ структуры активов предприятия 2. Анализ состава, структуры и динамики основного капитала 3. Анализ состава, структуры и динамики оборотных акт...»

«АНТИЦЕННОСТНАЯ ПРИРОДА МОРАЛЬНОГО ОТЧУЖДЕНИЯ Н.К. Эйнгорн, г. Екатеринбург, Россия Диапазон современного восприятия проблемы отчуждения весьма широк: от спокойно-рассудительной констатации этого...»

«О т с у т с т в и е ж е д а н н ы х к о н с ти ту е н т о в в н а ш е м м ат е р и ал е с в и д е те л ь с т ­ в у ет л и ш ь о т о м, ч то т ак и е С С П П о б П в п и с ь м е н н о й речи п р е д с т а в л я ю т собой к р ай н е р е д к о е я ьл е н и е. Литература Девкин В Д. Самостоятельные предложения с dass II Учен. зап. Московского город­ ского пед. ин-таим. В.П. Потемкина. 1958. Т 77. Вып. 1. С. 25-3...»

«ГУМАНИТАРИЙ ЮГА РОССИИ тивность его поведения, на организацию его общественной и повседневной жизни. Таким образом, жизненный мир – это мир человека, мир людей, мир в человеческом измерении, мир существования и функционирования человеческого потенциала, мир возможностей человека, его восприятия и...»

«выступает посредником между мужем и женой, применяющим искусственные средства, что противно естественному порядку вещей"148. Но в этих всех случаях зачатие происходило в самой полости матки, метод заключался лишь в инъекциях спермы. 2...»









 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.