WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«4.1 Элементы выпуклого анализа 4.1.1 Выпуклые множества Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: • отрезок [a, b] = = {x X | x = a + t(b ...»

1

4 Выпуклый анализ

Пусть в этом пункте X — линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = Rn —

конечномерное пространство).

4.1 Элементы выпуклого анализа

4.1.1 Выпуклые множества

Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом

анализе:

• отрезок [a, b] =

= {x X | x = a + t(b a) = (1 t)a + tb, 0 t 1};

• интервал (a, b) = {x X | x = (1 t)a + tb, 0 t 1};

• выпуклое множество A, если a, b A отрезок [a, b] A, т. е. a, b A точка (1 t)a + tb A 0 t 1;

• конус K (K = ), если x K точка tx K t 0;

• аффинное множество A, если a, b A точка (1 t)a + tb A t R.

Очевидно: аффинное множество выпукло.

m Возьмем фиксированные точки a1,..., am X. Пусть ti ai — i=1 комбинация этих точек, ti R.

Дадим различные определения таких комбинаций и оболочек этих комбинаций:

m

• выпуклая комбинация, если ti 0, ti = 1;

i=1

• коническая комбинация, если ti 0;

m

• аффинная комбинация, если ti = 1;

i=1 { m

• выпуклая оболочка conv{a1,..., am }:= a = ti ai ti 0, } i=1 m ti = 1 — совокупность всех выпуклых комбинаций;

i=1

• коническая выпуклая оболочка { } m conev{a1,..., am } := a = ti a i ti 0 ;

i=1

• аффинная оболочка { } m m a{a1,..., am } := a = ti = 1.

ti ai i=1 i=1 4.1.2 Выпуклые функции Пусть задана функция (функционал), отображающая линейное нормированное пространство в “расширенную” прямую:



f : X R := R {} {+}.

С каждой такой функцией f связываются два множества:

dom f = {x X | f (x) +} — эффективное множество и epi f = {(a, x) R X | a f (x)} — надграфик функции f.

• Функция f называется выпуклой, если надграфик f — выпуклое множество.

• Функция f называется замкнутой, если надграфик f — замкнутое множество.

• Функция f называется собственной, если f (x) x и f +.

Мы будем изучать выпуклые собственные функции. Для краткости будем называть их просто “выпуклые” функции.

Из определения выпуклого множества сразу следует, что функция выпукла тогда и только тогда, когда выполнено неравенство Йенсена:

f (tx1 +(1t)x2 ) tf (x1 )+(1t)f (x2 ) x1, x2 X, t (0, 1).

Ясно, что сумма двух выпуклых функций является функцией выпуклой. Но суперпозиция двух выпуклых функций не всегда является выпуклой функцией. Приведите пример.

Выпуклость многих классических функций одной переменной сразу вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1 (Р, с. 44). Пусть функция f : R R дважды непрерывно дифференцируема (f D2 (R)). Тогда она выпукла тогда и только тогда, когда ее вторая производная неотрицательна (f (x) 0 x R).

Приведем несколько примеров выпуклых функций.

1. f (x) = eax, a R.

2. f (x) = |x|p, p 1.

Выпуклость функций из примеров 1-2 сразу следует из теоремы 1 и определения выпуклой функции.

3. Аффинная функция (в многомерном случае f : Rn R, f (x) = a, x + b, a Rn, b R).

Аффинная функция является выпуклой по неравенству Йенсена. Модуль аффинной функции |a, x + b| также является выпуклой функцией, поскольку ее надграфик — пересечение полупространств — выпуклое множество.

Выпуклость функций нескольких переменных можно определять также из следующего многомерного обобщения теоремы 1.

<

–  –  –

4. Квадратичная функция Q(x) = Ax, x (A — симметричная матрица), является выпуклой тогда и только тогда, когда матрица A неотрицательно определена.

–  –  –

Теорема 3. f : R R — выпуклая ограниченная функция f (x) = const.

Доказательство. Предположим противное, что f (x) = const.

Тогда существуют точки x1, x2 такие, что x1 x2 и f (x1 ) = f (x2 ). Поскольку f — выпуклая ограниченная функция, то надграфик функции epi f — выпуклое множество, следовательно, [ ] отрезок (x1, f (x1 )), (x2, f (x2 )) epi f. Значит, на промежутке [x1, x2 ] график функции f лежит ниже этого отрезка (или совпадает с ним). Не ограничивая общности, будем считать, что f (x1 ) f (x2 ). Пусть l(x) — прямая, проходящая через точки (x1, f (x1 )) и (x2, f (x2 )). Покажем, что

f (x) l(x) x x2. ()

Если это не так, то существует точка x x2 такая, что f (x) l(x), т. е. точка (x, f (x)) лежит ниже прямой l. Так как функция [ ] f выпукла, то отрезок (x1, f (x1 )), (x, f (x)) epi f и лежит ниже прямой l, но это не так в точке x2 (ниже точки (x2, f (x2 )) не может быть точек из epi f ). Поэтому неравенство () действительно выполняется.

Так как l(x) + при x +, то f (x) + при x +. Получаем противоречие с ограниченностью функции f.

Значит, предположение противного неверно и f (x) = const.

4.1.3 Субдифференциал выпуклой функции Дадим определение важного понятия выпуклого анализа — субдифференциала функции, обобщающего для выпуклых функций понятие производной в гладком анализе.

Субдифференциалом выпуклой функции f в точке x называется следующее множество в сопряженном пространстве X :

–  –  –

Субдифференциал нормы Пусть X — линейное нормированное пространство, функционал f : X R, f (x) = x. Найдем субдифференциал нормы в нуле.

По определению субдифференциала

–  –  –

Неравенство () выполняется, значит, x f (0). Таким образом, f (0) = B = {x X | x X 1}.

4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся выпуклых множеств.

Определение 1. Множества A и B из пространства X называются отделимыми, если существует линейный непрерывный функционал X, = 0, для которого

–  –  –

Из определения следует, что множества являются отделимыми, если можно провести гиперплоскость H = {x X |, x = c}, c R, так что одно из множеств лежит в одном замкнутом полупространстве H+ = {x X |, x c}, а другое — в другом замкнутом полупространстве H = {x X |, x c}.

Замечание. Поскольку функционал в определении отделимости является непрерывным, то для отделимости (не строгой!) вместо множеств A и B можно рассматривать их внутренности или замыкания.

Определение 2. Множества A и B называются строго отделимыми, если существует линейный непрерывный функционал X, для которого

–  –  –

4.2.1 Теоремы отделимости Приведем результаты об отделимости в конечномерном случае и в случае линейных нормированных пространств.

Теорема 1 (отделимости множеств в конечномерном пространстве). Пусть A и B — непустые выпуклые множества в Rn, int A B = (в частности, A B = ). Тогда множества A и B отделимы.

Доказательство. Поскольку отделимость множеств int A и B равносильна отделимости множеств A и B, то, не ограничивая общности, считаем, что A B =. Обозначим C := A B = {a b | a A, b B} (разность по Минковскому множеств A и B). Поскольку A B =, то 0 C. Надо доказать, что существует вектор = 0, для которого

–  –  –

Так как f — непрерывная функция и f (x) + при |x|, то по следствию из т. Вейерштрасса абсолютный минимум в задаче (P ) достигается. Поэтому существует вектор absmin P, C. Причем, = 0 в силу условия 0 C. Покажем, что функционал искомый. Если inf, c 0, то существует точcC ка c C, для которой, c 0, т. е., векторы и c образуют тупой угол. Значит, основание H высоты OH треугольника Oc лежит на отрезке [c; ] (и, в силу выпуклости множества C, принадлежит C), и |OH| |O|, что противоречит выбору точки.

2) Предположим, что 0 C. Так как 0 C, то 0 C. Поэтому существует последовательность yk 0, yk C. В пункте 1) доказано, что для таких точек существуют векторы k = 0, что выполняется неравенство: inf k, c k, yk. Не ограничивая cC общности, считаем, что |k | = 1 k. Сфера в Rn компактна.

Значит, можно перейти к подпоследовательности k, сходящейся к некоторой точке, || = 1. При этом |k, yk | |k | · |yk | = |yk | 0. Следовательно,

–  –  –

То есть, – искомый функционал.

Теорема 2 (отделимости множеств в нормированном пространстве). [АТФ, с. 124] Пусть A и B — непустые выпуклые множества в X, int A =, int A B =. Тогда множества A и B отделимы.





В теореме отделимости в конечномерном пространстве int A может быть пуста. Напомним, что из определения выпуклого множества следует, что пустое множество является выпуклым.

И вместо условия int A B = можно писать A B =. В теореме отделимости в бесконечномерном пространстве это не так. Надо требовать, чтобы int A =.

–  –  –

4.2.2 Теоремы о строгой отделимости Теорема 1 (о строгой отделимости точки от множества в нормированном пространстве). Пусть A — непустое выпуклое замкнутое множество в X, b A. Тогда точку b можно строго отделить от множества A.

Доказательство. Поскольку точка b A — замкнутому множеству, то существует 0, для которого A (b + U ) =, где U := {x X | x 1} — единичный шар пространства X. Следовательно, по теореме отделимости в нормированном пространстве выпуклые множества A и B := b + U (int B =, int BA = ) можно отделить, т. е., существует линейный непрерывный функционал X, = 0 такой, что

–  –  –

Отсюда inf, a, b. Это и означает, что точка b строго aA отделена от множества A.

Рассмотрим следующее обобщение доказанной теоремы.

Теорема 2 (о строгой отделимости компакта). A и B — непустые выпуклые замкнутые подмножества нормированного пространства X, причем B — компакт и A B =. Тогда множества A и B строго отделимы.

Доказательство. Обозначим U := {x X | x 1} — единичный шар пространства X. Покажем, что существует 0, для которого A (B + U ) =. В противном случае существуют последовательности {ak } A, {bk } B такие, что ak bk 0 при k. Поскольку B — компакт, то из последовательности bk можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Для простоты записи считаем, что это подпоследовательность и есть сама последовательность bk. Так как последовательности {ak } и {bk } сходятся к одной точке, а последовательность bk b B, то и последовательность ak b и b A в силу замкнутости A. Таким образом, точка b A B — противоречие.

Следовательно, A (B + U ) =. Тогда по теореме отделимости (A int B =, int B = ) множества A и B = B + U можно отделить, т. е., существует линейный непрерывный функционал X, = 0 такой, что

–  –  –

Приведем еще одно доказательство теоремы о строгой отделимости компакта, использующее лемму о замкнутости суммы (разности) замкнутого множества и компакта, которая также имеет самостоятельный интерес.

Лемма (о замкнутости суммы (разности) замкнутого множества и компакта). Пусть X — нормированное пространство, множества A, B X, A — замкнуто, B — компакт. Тогда алгебраическая сумма C = A + B (разность A B) замкнута.

Доказательство. Пусть имеется сходящаяся последовательность точек ck C, ck c0. Докажем, что c0 C. По условию леммы ck = ak + bk, где ak A, bk B. Так как B — компакт, то из последовательности bk можно выделить сходящуюся подпоследовательность bkm. Тогда подпоследовательность bkm сходится к некоторой точке b0 B. Значит, подпоследовательность akm = ckm bkm будет сходиться к точке c0 b0 =: a0 и точка a0 A в силу замкнутости A. Значит, c0 = a0 + b0, a0 A, b0 B, т. е. c0 C.

Второе доказательство теоремы о строгой отделимости компакта Доказательство. Обозначим C := A B. Тогда множество C замкнуто по лемме о замкнутости суммы (разности) замкнутого множества и компакта и 0 C. Следовательно, по теореме / о строгой отделимости точки от выпуклого замкнутого множества точку 0 можно строго отделить от множества C, т. е., существует линейный непрерывный функционал X, = 0 такой, что

–  –  –

4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R — выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная задача:

f (x) min. (P ) Теорема (аналог теоремы Ферма). Для того чтобы точка x доставляла в выпуклой задаче без ограничений (P ) абсолютный минимум ( absmin P ), необходимо и достаточно, x чтобы выполнялось соотношение

–  –  –

ящей теореме равносильно принципу минимума для функции Лагранжа в теореме Каруша-Куна–Таккера. Таким образом, для нашей задачи выполняются соотношения a) c) теоремы Каруша-Куна–Таккера с множителем Лагранжа 0 = 0. По п. 2 теоремы Каруша-Куна–Таккера следует, что x absmin P.

Легко видеть, что теорема остается верной и для задач с ограничениями типа равенств и неравенств, если функции, задающие равенства, являются аффинными. (В этом случае, как мы говорили об этом в п. 3. 2 равенство f (x) = 0 0 f (x) 0 заменяется двумя неравенствами f (x) 0, f (x) 0. Из аффинности функции f следует выпуклость функций f и f.) 4.3.4 Пример

–  –  –

положительно определена для любого x. Функция h(x1, x2 ) = |x1 + x2 2|, являющаяся модулем афинной функции, также является выпуклой функцией (см. п. 4.1.2).

Необходимое и достаточное условие экстремума в выпуклой задаче без ограничений:

–  –  –

Значит, tx1 + (1 t)x2 f (A), т. е. множество f (A) — выпукло.

Обратно. Пусть B := f (A) — выпуклое множество. Возьмем точки a1, a2 f 1 (B) = A, тогда x1 = f (a1 ) B, x2 = f (a2 ) B.

В силу выпуклости множества B точки tx1 + (1 t)x2 B для любого 0 t 1. Поскольку f — линейное отображение, то

–  –  –

Значит, ta1 + (1 t)a2 f 1 (B) = A, т. е. множество A — выпукло.

Аналогично свойство доказывается для конических и аффинных множеств.

3. Сдвиг A b + A выпуклого (аффинного) множества является выпуклым (аффинным) множеством.

4. Гомотетия A A, R, выпуклого множества является выпуклым множеством.

5. Прямое (декартово) произведение выпуклых множеств выпукло (A X и B Y выпуклы A B выпукло в X Y ).

6. Алгебраическая сумма A+B и разность AB выпуклых множеств выпуклы. Линейная комбинация конечного числа выпуклых множеств 1 A1 +... + k Ak выпукла.

Свойства 3.-6. легко следуют из определений.

Упражнение 2. Доказать, что для любых, 0 и выпуклого множества A выполняется равенство: A + A = ( + )A;

в частности, A + A = 2A. Показать, что для невыпуклых множеств это, вообще говоря, неверно.

–  –  –

Теорема 3. Множество A — выпукло тогда и только тогда, когда conv A = A.

Доказательство. Пусть A — выпукло. Тогда по лемме 1-v conv A A. Вложение conv A A следует из определения conv A (n = 1).

Обратно. Пусть conv A = A. По лемме 2-v conv A — выпукло, значит, и A — выпукло.

Обозначим A = A — пересечение всех выпуклых множеств A, содержащих A (A A).

Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.

Теорема 4. Имеет место равенство conv A = A.

Доказательство. Поскольку по лемме 2-v conv A — выпукло и conv A A следует из определения conv A (n = 1), то conv A A = A. Докажем, что conv A A. Пусть a conv A. Тогда a conv{a1,..., an }, где ai A A для любого. Поскольку A — выпукло, то по лемме 1-v a A для любого. Так как A = A, то a A.

Теорема 5. Пусть X — линейное нормированное пространство, A X — выпуклое множество.

Тогда внутренность int A и замыкание A множества A выпуклы.

Доказательство. Пусть точки a, b int A. Тогда по определению внутренней точки существует 0, для которого шары a + B, b + B A. В силу выпуклости множества A для любых t1, t2 0, t1 + t2 = 1, множество t1 (a + B ) + t2 (b + B ) A.

Согласно утверждению из упражнения 2 множество

–  –  –

Значит, множество t1 a + t2 b int A, т. е. int A — выпуклое множество.

Пусть a, b A. Покажем, что для любых t1, t2 0, t1 + t2 = 1, точка t1 a + t2 b A. Поскольку a, b A, то существуют последовательности ak, bk A такие, что ak a, bk b. В силу выпуклости множества A точки ck := t1 ak + t2 bk A. Поэтому c = lim ck A. Следовательно, A — выпуклое множество.

4.4.3 Эквивалентные определения выпуклых конусов Лемма (1-k). Пусть A — выпуклый конус. Тогда коническая выпуклая оболочка conev{a1,..., an } A, для любых a1,..., an A, для любого n N.

–  –  –

Теорема 6. Множество A — выпуклый конус тогда и только тогда, когда conev A = A.

Доказательство. Пусть A — выпуклый конус, тогда по лемме 1-k conev A A. Вложение conev A A следует из определения conev A (n = 1).

Обратно. Пусть conev A = A. По лемме 2-k conev A — выпуклый конус, значит, и A — выпуклый конус.

Обозначим A = A — пересечение всех выпуклых конусов A, содержащих A (A A). Тогда A — выпуклый конус как пересечение выпуклых конусов.

Теорема 7. Имеет место равенство conev A = A.

Доказательство. Поскольку по лемме 2-k conev A — выпуклый конус и conev A A по определению conev A (n = 1), то conev A A.

Докажем, что conev A A. Пусть a conev A. Тогда a conev{a1,..., an }, ai A A для любого. Поскольку A — выпуклый конус, то по лемме 1-k a A для любого. Так как A = A, то a A.

–  –  –

n tµj = (1 t) + t = 1, и, следовательно, получили аффинную j=1 комбинацию точек a1,..., am, b1,..., bn.

Теорема 8. Множество A — аффинное тогда и только тогда, когда a A = A.

Доказательство. Пусть A — аффинное, тогда по лемме 1-a a A A. Вложение a A A следует из определения a A (n = 1).

Обратно. Пусть a A = A. По лемме 2-a a A — аффинное, значит, и A — аффинное.

Обозначим A = A — пересечение всех аффинных множеств A, содержащих A (A A).

Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.

Теорема 9. Имеет место равенство a A = A.

Доказательство. Поскольку по лемме 2-a a A — аффинное и a A A по определению a A (n = 1), то a A A.

Докажем, что a A A. Пусть a a A. Тогда a a{a1,..., an }, ai A A для любого. Поскольку A — аффинное, то по лемме 1-a a A для любого. Так как A = A, то a A.

4.5 Размерность множества Пусть X — линейное нормированное пространство.

• Подпространство — аффинное множество, проходящее через 0.

–  –  –

• Размерность аффинного множества есть размерность подпространства, параллельного этому аффинному множеству.

• Размерность множества M есть размерность a M.

Размерность точки равна 0; размерность прямой равна 1; размерность гиперплоскости в Rn равна n 1.

Определение 3. Точки a0, a1,..., an — аффинно независимы, если никакая из них не является аффинной комбинацией остальных2, а dim a{a0, a1,..., an } = n, Легко доказать, что точки a0, a1,..., an — аффинно независимы тогда и только тогда, когда вектора a1 a0,..., an a0 — линейно независимы.

Пусть точки a0, a1,..., an — аффинно независимы. Тогда множество n = conv{a0, a1,..., an } называется n-мерным симплексом с вершинами a0, a1,..., an.

В частности, 0 = a0 — точка в X; 1 = conv{a0, a1 } = [a0, a1 ] — отрезок; 2 = conv{a0, a1, a2 } — треугольник, и т. д.

–  –  –

Лемма (о представлении точек симплекса через вершины).

Любая точка симплекса n = conv{a0, a1,..., an } единственным образом представляется в виде выпуклой комбинации его вершин: x = 0 a0 +...+n an, где 0,..., n 0, 0 +...+n = 1.

–  –  –

кирпич”. Тогда A — выпуклое множество, int A =, a A = l2.

Теорема (Каратеодори). Пусть dim conv A = d. Тогда любой элемент из conv A представляется в виде выпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.

–  –  –

4.6 Поляры множеств 4.6.1 Определение поляр множеств Определение 4. Линейные пространства X и Y называются пространствами в двойственности, если определена билинейная форма ·, · : Y X R такая, что если y, x = 0 y Y, то x = 0, a если y, x = 0 x X, то y = 0.

Пример. Если X — линейное нормированное пространство, а Y = X, то форма y, x является билинейной, а пространства X и Y = X являются пространствами в двойственности.

Далее для образности представления рассматриваем именно этот случай.

Определение 5. Пусть X и Y — пространства в двойственности. Полярой множества A X называется множество A = {y Y | sup y, x 1}.

xA

–  –  –

Теорема (о биполяре). Множество A совпадает со своей биполярой A (A = A ) тогда и только тогда, когда A — выпуклое замкнутое множество, содержащее ноль.

–  –  –

Следствие 3. Если A — выпуклое замкнутое множество и 0 A, то множество A является полярой некоторого выпуклого замкнутого множества B, содержащего 0 (A = B ).

Доказательство. По теореме о биполяре A = A = (A ) = B, где B = A — выпуклое замкнутое множество и 0 B, так как поляра всегда является выпуклым замкнутым подмножеством, содержащим ноль.

–  –  –

Замечание. Для конусов условия inf y, x 0 и inf y, x c, xK xK где c 0, равносильны тому, что y, x не принимает отрицательных значений.

Доказательство. Действительно, если y, x 0 при некотором x K, то x K для любого 0, а y, x будет принимать любые отрицательные значения. Тогда оба неравенства y, x 0 и y, x c не будут выполняться.

Замечание. Для конусов условия y, x 0 для любого x K и y, x c для любого x K, где c 0, равносильны тому, что y, x не принимает отрицательных значений.

Доказательство. Действительно, если y, x 0 при некотором x K, то x K для любого 0, а y, x будет принимать любые отрицательные значения. Тогда оба неравенства y, x 0 и y, x c не будут выполняться.

Лемма 4. Сопряженный конус совпадает с минус полярой:

K = K.

Доказательство. Имеем y K y, x 0 для любого x K. Согласно замечанию это неравенство эквивалентно неравенству y, x 1 x K y, x 1 x K y K y K.

Из леммы можно выводить свойства сопряженного конуса.

–  –  –

4.7.3 Теорема о втором сопряженном конусе Теорема (о втором сопряженном конусе). K — выпуклый замкнутый конус тогда и только тогда, когда K = K.

Доказательство. Следует из теоремы о биполяре. Условие 0 K выполняется по определению конуса.

Следствие (1). Пусть K — выпуклый замкнутый конус. Тогда K является сопряженным к некоторому выпуклому замкнутому конусу B (K = B ).

Доказательство. По теореме о втором сопряженном конусе K = K = (K ) = B, где B := K.

Следствие (2). Пусть K — произвольный конус. Тогда K = conv K.

Доказательство. В силу свойства 5 K = ( conv K ) имеем 5( ) K = (K ) = ( conv K ) = conv K.

Последнее равенство выполняется по т. о втором сопряженном конусе для конуса conv K.

–  –  –

Пример. Два выпуклых замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус.

{ } Пусть K1 = conev {x R | x1 3 (x3 1) 1, x2 = 1} + 0 — выпуклый замкнутый конус в R, образованный кругом и точкой 0; K2 — ось x2 — выпуклый замкнутый конус в R3. Тогда K1 + K2 = {x R3 | x3 0} — открытое полупространство, объединенное с осью x2 — незамкнутый конус.

Слева в формуле 8 стоит сопряженный конус — замкнутое множество, поэтому без замыкания множества K1 +K2 формула неверна.

4.7.5 Теорема Дубовицкого-Милютина о непересечении конусов Из определения отделимости множеств следует, что если два непустых выпуклых конуса K1 и K2 отделимы, то существуют линейно непрерывный функционал X, = 0 такой, что

Похожие работы:

«1. Цели освоения дисциплины Целью освоения дисциплины "Теоретические основы товароведения" является формирование навыков применения методов товароведения, определения основополагающих характеристик товаров и факторов, формирующих и сохраняющих их качество....»

«А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 22 22.1. Операторы в гильбертовом пространстве. Сопряженный оператор До сих пор мы занимались линейными операторами между произвольными банаховыми пространствами; сосредоточимся теперь на операторах в гильбертовом пространстве. Основная специфика гил...»

«Всемирная Организация Скаутского Движения Всемирная Организация Скаутского Движения Настоящая книга вторая из трех учебников, которые издает Всемирное Скаутское Бюро от имени Всемирной Организации Скаутско...»

«Утверждено общим собранием участников Общества с ограниченной ответственностью "Межрегиональный специализированный депозитарий" Протокол № 4 от 15 июня 2016 Условия осуществления депозитарной деятельности...»

«УДК 316.3 СЕМЬЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ МОЛОДЕЖИ РОССИИ И КАЗАХСТАНА: СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Баталова Аксиния Михайловна студентка 4 курса департамента политологии и социологии, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург E-mail: batalova_aksiniya@mail.ru FAMILY IN VIEWS OF RUSSIAN AND KAZAKCH YOUTH: COMPARATIVE ANALYSE...»

«Информационно-развлекательный журнал о ресторанах и проектах "МаксиМа" 3 (64) – Март 2016 АНДРЕЙ ШМАКОВ БРЕНД-ШЕФ ОТЕЛЯ "МЕТРОПОЛЬ" И РЕСТОРАНА SAVVA (МОСКВА) с гастрономическими гастролями 30-31 марта в "МаксиМ. Избранное" 18+ Луначарского, 47 42-21-49 слово В НОМЕР Приветств...»

«АЗАСТАН ОР БИРЖАСЫ КАЗАХСТАНСКАЯ ФОНДОВАЯ БИРЖА KAZAKHSTAN STOCK EXCHANGE ЗАКЛЮЧЕНИЕ Листинговой комиссии по облигациям АО Дочерняя ипотечная организация акционерного общества Банк ТуранАлем БТА Ипотека шестого выпуска, выпущенным в пределах третьей облигационной программы 23 мая 2007...»

«Кодекс музейной этики ИКОМ Краеугольным камнем ИКОМ является Кодекс музейной этики ИКОМ. Он устанавливает минимальные стандарты профессиональной деятельности для музеев и музейных работников. Вступая в ИКОМ, его члены обязаны следовать положениям Кодекса. В...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.