WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«Лекция 7. Банаховы пространства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 11 ...»

Лекция 7. Банаховы пространства

Корпусов Максим Олегович,

Панин Александр Анатольевич

Курс лекций по линейному функциональному анализу

11 января 2012 г.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7

Определение.

Определение 1. Банаховым пространством B называется

нормированное пространство, которое является полным как

метрическое пространство относительно метрики

d(x, y) = x y,

где · — это норма данного нормированного пространства.

Вопрос: является ли всякое нормированное пространство линейным пространством?

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Примеры.

Прежде всего пространством Лебега Lp (, µ) при [1, +) является банаховым относительно следующей нормы:

1/p |f (x)| dµ(x) f =.

p Пространство lp при p [1, +) является банаховым относительно нормы 1/p + p {x} |xk | =.

p k=1 Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Эквивалентные нормы на банаховом пространстве.

Определение 2. Норма · 1 на банаховом пространстве B, · называется эквивалентной исходной, если найдутся такие положительные числа c1 и c2, что имеет место неравенство для всех f B.

c1 f f c2 f Очевидно, что c1 c2.

Заметим, что при этом соответствующее линейное нормированное пространство B будет тоже банаховым относительно эквивалентной нормы · 1.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Пример.



Рассмотрим банахово пространство C[0, 1] относительно стандартной нормы f = sup |f (x)|.

x[0,1] Теперь рассмотрим новую норму = |f (0)| + sup |f (x)| f 1 x[0,1] Докажем, что это эквивалентная норма.

Имеет место цепочка неравенств

–  –  –

Стало быть, нормированное относительно нормы · линейное пространство C[0, 1] является также банаховым.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Неэквивалентные нормы. Пример.

Рассмотрим линейное пространство C(1) [0, 1], на котором введем следующую норму:

–  –  –

Относительно, этой нормы рассматриваемое линейное пространство не является банаховым. Если применить процедуру пополнения, то его пополнением окажется банахово пространство C[0, 1].

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах.

Пусть (N1, · 1 ) и (N2, · 2 ) — это два нормированных пространства, причем

–  –  –

это линейный непрерывный оператор. Все такие операторы образуют линейное пространство (с очевидными операциями сложения и умножения на число), которое мы обозначим через

–  –  –

Проверим, что это норма — на доске!

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Эквивалентное определение нормы линейного оператора.

Заметим, что в силу свойств нормы имеет место следующая цепочка равенств:

–  –  –

Возникает вопрос о том, при каких условиях линейное нормированное пространство L(N1, N2 ) является банаховым относительно введенной операторной нормы?

Теорема Пусть (N2, · 2 ) является банаховым пространством, тогда L(N1, N2 ) банахово.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Доказательство теоремы-1.

Пусть {An } — это фундаментальная по операторной норме последовательность операторов, т. е.





–  –  –

а в силу фундаментальности {An } правая часть последнего неравенства может быть сделана сколь угодно малой при больших n.

Теорема доказана.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Линейные функционалы.

Прежде всего будем называть сходимость по норме

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Сопряженное пространство.

Прежде всего вместо обозначения действия линейного функционала f (·) на элементе x B будем обозначать как

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Слабая и -слабая сходимость.

Если есть сильная сходимость в банаховом пространстве (B, · ), то должна существовать и слабая сходимость.

–  –  –

Более того, на B можно ввести еще одну сходимость — слабую сходимость.

Определение 5. Слабой сходимостью последовательности {fn } B называется сходимость следующей числовой последовательности fn, x f, x для каждого фиксированного x B.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Обозначение.

Сильную сходимость мы будем обозначать как

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Примеры. Пространства Лебега.

Теперь мы проиллюстрируем введенные в этой лекции новые понятия на примере пространств Лебега. Дадим определения сильной, слабой и слабой сходимостей для пространств Lp (), где область эвклидова пространства RN, а p [1, +].

–  –  –

Определение 7.

Последовательность {un } Lp () называется слабо сходящейся к элементу u Lp () при p [1, +), если имеет место следующее предельное равенство:

–  –  –

где ·, · — это скобки двойственности между банаховыми пространствами Lp () и (Lp ()) при p [1, +).

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Слабая сходимость.

Определение 8.

Последовательность {fn } L () называется слабо сходящейся к функции f L (), если для всех u L1 () имеет место следующее предельное равенство:

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Дважды сопряженные пространства.

Итак, мы ранее построили сопряженное банахово пространство (B, · ). Рассмотрим теперь линейное пространство всех линейных функционалов над этим банаховым пространством.

–  –  –

будем называть дважды сопряженным и обозначать как B.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Норма дважды сопряженного пространства.

Поскольку каждый элемент x B — это линейный и непрерывный оператор, действующий как

–  –  –

в наших обозначениях является сильной сходимостью.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Слабая сходимость в B.

Разумеется, что после того как мы ввели в рассмотрение банахово пространство (B, · ) мы можем ввести на банаховом пространстве (B, · ) обычную слабую сходимость.

Определение 10. Сходимость числовой последовательности

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Слабая и слабая сходимости на банаховом пространстве (B, · ).

Таким образом, мы построили три типа сходимостей на банаховом пространстве

–  –  –

Сильная сходимость влечет за собой слабую, а слабая сходимость влечет за собой слабую.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Рефлексивность.

Заметим, что по построению любой элемент x B порождает линейный непрерывный функционал над банаховым пространством B согласно формуле

–  –  –

причем можно доказать, что соответствующий оператор вложения J является изометрией, а именно имеет место равенство x = x при x = Jx.

В том случае, когда оператор J является сюръекцией, то банахово пространство B называется рефлексивным.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Связь слабой и слабой сходимости.

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Один интересный результат.

Теорема Если B — это рефлексивное нормированное пространство, то оно является банаховым.

Доказательство на доске.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Теорема Хана–Банаха.

Теорема Пусть X — это вещественное векторное пространство, а X0 X — векторное подпространство, на котором задан линейный функционал, x, причем имеет место неравенство

–  –  –

С этой целью воспользуемся неравенствами (1).

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Доказательство теоремы Хана–Банаха-3.

Пусть t 0, тогда

–  –  –

Теорема Пусть X — комплексно-линейное пространство, а X0 X — его подпространство. Пусть для линейного функционала, x, определенного на X0, выполнено неравенство

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Первое следствие из теоремы Хана–Банаха.

Теорема Пусть X — это нормированное линейное пространство, причем

–  –  –

Итак, первое следствие доказано.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Второе следствие из теоремы Хана–Банаха.

Теорема Пусть y X, где X — это нормированное пространство. Тогда существует ненулевой функционал X такой, что

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Четвертое следствие из теоремы Хана–Банаха.

Теорема Пусть B — банахово пространство. Если B сепарабельно, то B также сепарабельно.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Доказательство-1.

–  –  –

В этом разделе лекций мы рассмотрим две теоремы, которые все принято называть теоремами Банаха–Штейнгауза.

Как мы покажем все эти теоремы являются следствиями теоремы Бэра о категориях. Но сначала докажем теорему о равномерной ограниченности Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Теорема о равномерной ограниченности.

–  –  –

но тогда из (iii) вытекает, что каждый элемент x B1 принадлежит какому-то Xn.

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Доказательство-3.

Каждое Xn замкнуто в B1, а B1 является банаховым, поэтому в силу доказанной ранее теоремы Бэра о категориях найдется такое n N и такой открытый шар

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Операторные топологии-1.

По ходу лекции мы столкнулись уже с двумя типами сходимостей операторов из пространства

–  –  –

Корпусов Максим Олегович, Панин Александр АнатольевичЛекция 7 Операторные топологии-2.

Наконец, еще один тип операторной сходимости — это слабая сходимость

–  –  –

где ·, · — это скобки двойственности между банаховыми пространствами B2 и B.

Разумеется у пространства L(B1, B2 ) есть и "обычные"типы сходимостей как и у всякого банахова пространства и при этом введенная только что слабая операторная сходимость, вообще говоря, отличается от стандартной слабой сходимости.

Похожие работы:

«КНИГА ЖЕНСКОЙ МУДРОСТИ WOMEN’S WISDOM 3,577 TIPS, FACTS & ADVICE EVERY WOMAN MUST KNOW ABOUT HER HEALTH AND LIFESTYLE Edited by Sharon Faelten КНИГА ЖЕНСКОЙ МУДРОСТИ 3577 СОВЕТОВ ДЛЯ КРАСОТЫ И ЗДОРОВЬЯ УДК 612 ББК 87.774 К53 Опубликовано по соглашению с Rodale Inc., г.Эммейус, штат Пе...»

«Иллюзия выбора. Кто принимает решения за нас и почему это не всегда плохо СОДЕРЖАНИЕ Предисловие............................................................................................. 9.......................»

«По благословению Мефодия, Митрополита Астанайского и Алматинского № 16 (425), 10 августа 2008 г. 8-я неделя по Пятидесятнице Кондак Божией Матери пред иконой Ее 'Одигитрия' Предстательство христиан непостыдное, ходатайство ко Творцу непреложное, н...»

«Антитеррористическая безопасность в общественных местах и на объектах ЖКХ Антитеррористическая безопасность представляет собой один из наиболее важных и ответственных элементов об...»

«ISSN 2073 – 7203 e-ISSN 2073 – 7211 Российская академия наРодного хозяйства и госудаРственной службы пРи пРезиденте Российской ФедеРации №2 (33) 2015 ГОСУДАРСТВО гаяне хачатРян. Библия и царская власть: легитимация династии Багратидов в средневековой армянской историографии 2 (33) 2015 РЕЛИГИЯ заРуи погосян. Государство и ре...»

«Этика, духовность и нравственность в формировании информационного общества Алексей Демидов Председатель Правления МОО ВПП ЮНЕСКО "Информация для всех" В 2007 и в начале 2008 года МОО ВПП ЮНЕСКО "Информация для всех" провела ряд мероприятий1, направленных на решение проблем формирования и применения этических регуляторов в разв...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Музей антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) СБОРНИК МУЗЕЯ АНТРОПОЛОГИИ И ЭТНОГРАФИИ L IV КОЛЛЕКЦИИ ОТДЕЛА ЕВРОПЫ Выставочные проекты. Каталоги. Исследован...»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ЗАЩИТЫ ПРАВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И БЛАГОПОЛУЧИЯ ЧЕЛОВЕКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЭПИДЕМИОЛОГИИ (ФБУН ЦНИИ Эпидемиологии Роспотребнадзора) ОКПО 01897593 ОГРН 102770004661 5 ИНН/КПП 7...»

«Детский проект "Мой любимый город" Наш проект называется "Мой любимый город" Что мы знаем про наш город? Что мы хотим узнать о нашем городе? Как мы узнаем? Наш город называется Миасс Почему так назвали наш город? Вера Ивановна прочитала нам легенду о городе Миасс и вот что мы с ребятами знали Это бы...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.