WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«Данная работа ставит целью анализ прикладной эффективности применения моделей «копула» в приложении к управлению валютным риском российского ...»

Сравнение параметрического и полупараметрического подходов к

оценке копул в управлении валютным риском российского банка1

Пеникас Г.И., Симакова В.Б.

Данная работа ставит целью анализ прикладной эффективности применения

моделей «копула» в приложении к управлению валютным риском российского банка.

Специфичность российских данных, с которыми сталкивается банк, требует

применения полупараметрического подхода для оценки копул, потому что: (1)

многомерное распределение рисков характеризуется наличием тяжелых хвостов, (2) традиционные методы недостаточно точно приближают частные кумулятивные функции распределения. Показано, что копулы, оцененные полупараметрическим методом, позволяют получать адекватную оценку валютного риска на российских данных, что не достигается традиционными подходами (риск недооценивается) и подходами, ориентированными на законодательные требования (риск чрезвычайно завышается).

Оглавление Цель исследования

1.

Законодательное регулирование управления валютным риском

2.

Особенности моделирования многомерных распределений

3.

Введение в теорию копул

4.

Используемые данные

5.

Методология исследования

6.

Результаты эконометрического моделирования

7.

Основные выводы

8.

Библиография

9.

1 Авторы выражают благодарность С.А. Айвазяну за научное руководство при подготовке данного исследования. Также авторы признательны Ю.Н.Благовещенскому, Д.Фантаццини и К.Борусяку за важные комментарии, высказанные ими при предварительном обсуждении результатов исследования.



Когда купец покупает или продает товар за иностранную валюту, то не всегда дело можно вести за наличный расчет или путем учета векселей. В течение промежутка времени, …

–  –  –

1. Цель исследования Высокая волатильность валютных курсов, усугубленная кризисным настроением участников валютного рынка, плавная девальвация рубля, имевшая место с ноября 2008 г.

по январь 2009 г. заставили риск-менеджеров коммерческих банков пересмотреть подходы к управлению валютным риском.

Целью данной работы является анализ прикладной эффективности нового класса моделей «копула» в приложении к управлению валютным риском российского банка.

Необходимо определить сравнительную эффективность параметрического и полупараметрического подходов оценки копул в приложении к российским данным.

Важно оценить качество прогноза величины валютного риска на основе модели «копула»

относительно традиционных подходов и законодательных требований Банка России, нового соглашения Базель II по регулированию достаточности банковского капитала.

В работе вначале рассматриваются законодательные требования по оценке валютного риска (раздел 2). Далее дается обзор литературы по вопросам моделирования многомерных распределений, включая распределения финансовых рисков (раздел 3). Раздел 4 посвящен теории построения многомерных распределений на основе «копула» моделей. В разделе 5 описаны используемые в анализе данные. В разделе 6 приведена методология исследования. Результаты исследования рассмотрены в разделе 7. Основные обобщения и выводы даны в разделе 8.

2. Законодательное регулирование управления валютным риском

1.1. Понятие открытой валютной позиции Валютный риск – это разновидность рыночного риска, который угрожает коммерческому банку будущими потерями вследствие неожиданных изменений валютных курсов на рынке.





Открытая валютная позиция (ОВП) – это позиция, подверженная валютному риску и определяемая по следующей схеме.

ОВПi = Аi Пi + Аi ' Пi ' (1) Где ОВПi - открытая валютная позиция банка по i-ой валюте (драгоценному металлу);

Аi, Пi - балансовые активы и обязательства (пассивы) в i-ой валюте (драгоценному металлу);

Кейнс Дж. М. Общая теория занятости, процента, денег. Избранное / Дж.М.Кейнс ; вступ.статья Н.А.

Макашевой. – М.: Эксмо, 2008. С. 842 Аi ', Пi ' - внебалансовые активы и обязательства (пассивы) в i-ой валюте, которые соответствуют величине длинной позиции (актив) в срочных сделках в данной валюте (например, заключенный контракт на покупку долларов США в будущем создает длинную (активную) позицию по долларам США) или короткой позиции (пассив).

–  –  –

1.2. Требования Банка России Управление валютным риском для коммерческих банков и их дочерних структур, находящихся в юрисдикции Российской Федерации, регламентируется документами Банка России: положением № 313-П «О порядке расчета кредитными организациями величины рыночного риска» и инструкцией №124-И «Об установлении размеров (лимитов) открытых валютных позиции, методике их расчета и особенностях осуществления надзора за их соблюдением кредитными организациями». Достаточность капитала кредитной организации определяется на основе рассчитанной величины валютного риска (согласно инструкции 124-И) и величины собственных средств (капитала) банка, определенного согласно положению 215-П.

–  –  –

Фактически, согласно требованиям Банка России совокупный валютный риск в рублях ( ОВП RUB ) определяется как сумма валютный рисков отдельных валютных пар, т.е. верно

–  –  –

Таким образом, становится очевидным заложенное предположение о 100%-ной корреляции всех входящих в расчет рисков отдельных валют. Но если в случае мер риска одного знака, предположение о совершенной позитивной корреляции завышает требование к капиталу, то в случае валютных позиций (имеющих, как правило, взаимно обратные знаки) данная предпосылка приводит к недоучету рисков.

Также Банк России требует, чтобы балансирующая позиция в рублях каждого филиала не превышала 3% собственных средств (капитала) банка;

1.3. Рекомендации Базель II Для коммерческих банков и их зависимых подразделений, не осуществляющих деятельность в пределах юрисдикции Российской Федерации, регулирование валютным риском определяется соглашением, разработанным базельским комитетом по банковскому надзору (Базель II). Базель II предлагает два подхода к регулированию валютного риска: простой (“shorthand” method) метод и подход внутренних моделей [Базель II, п. 718 (xl)].

Согласно Базель II валютный риск оценивается по всему банку, а не только по торговому портфелю. Для расчета валютного риска нужно, во-первых, определить сумму, подверженную риску для каждой валюты, переведя ее в валюту баланса, а во-вторых, определить риск, присущий банковским позициям в разных валютах.

Чистая открытая позиция банка по каждой валюте определяется путем суммирования:

• чистой спотовой (балансовой) позиции;

• чистой форвардной (внебалансовой) позиции;

• выданных гарантий (которые обязательно будут востребованы и которые вряд ли будут отозваны банком);

• чистой будущей прибыли (расходов), еще не начисленной, но полностью хеджированной;

• прочих статей, отражающих прибыли и убытки в иностранной валюте, включая накопленные, но еще не полученные (выплаченные) доходы (расходы);

• величины валютного риска по опционам (в размере величины дельта-эквивалента);

В рамках простого метода чистая открытая позиция (номинальная стоимость) по каждой валюте и по золоту переводится в валюту отчетности по курсу спот, и рассчитывается суммарная чистая длинная и короткая позиции, в том числе и по золоту ( ОВПGOLD ). Капитал, который резервируется под валютный риск, рассчитывается как 8% от наибольшей по абсолютной величине из чистых позиций (короткой или длинной) плюс 8% чистой позиции по золоту, независимо от знака последней позиции [Базель II (2006), п. 718 (xli); Дополнение к Базель I (1996), Часть A2.II, п. 12, стр. 25].

Таким образом, совокупный валютный риск согласно простого метода Базель II будет определяться по следующей формуле.

–  –  –

где ОВПi - открытая валютная позиция в i-ой валюте, причем iMAX - является отличной от рублей валютой, в которой у банка имеется максимальная по модулю открытая валютная позиция.

В рамках же подхода внутренних моделей Базель II разрешает коммерческим банкам самостоятельно разрабатывать модели оценки валютного риска на основе границы потерь, в которых можно отказаться от жесткой предпосылке о 100%-корреляции рисков, которая как будет продемонстрировано в разделе 3 не подтверждается на практике.

3. Особенности моделирования многомерных распределений Период кризиса в банковской сфере еще раз подчеркнул цену ошибки, которую пришлосб заплатить риск-менеджерам за принятие предпосылки о гауссовском характере многомерного распределения рисков. Поэтому в последнее время активно начали исследоваться способы моделирования совместного многомерного распределения, отвечающего фактически наблюдаемым стилизованным фактам его асимметричности и наличия тяжести хвостов.

Особенное внимание стало уделяться моделям копулы, позволяющим разделить многомерное распределение на частные распределения и форму их взаимосвязи (подробнее о теории копул см.

раздел 4).

В работе [Hsu, Tseng, Wang (2007)] авторы исследуют повышения эффективности операций хеджирования за счет применения моделей «копула». В исследовании модели «копула»

сравниваются с моделями DCC-, CCC-GARCH (модели условной гетероскедастичности с динамической и постоянной условной корреляцией, соответственно). Частные распределения моделируют обычным и смещенным t-распределением. Оценка копул проводится полностью параметрическим способом IFM. В основе исследования лежат дневные данные биржевых индексов и фьючерсов на них за период 2.01.95 – 31.10.05. Авторы исследуют применение копул к моделям прямого и перекрестного хеджирования. Первый тип операций предполагает заключение срочных сделок на базовый актив, тогда как второй – на иной, динамика цен которого сонаправлена с динамикой цены базового актива. Так если для анализа прямого хеджирования авторы анализируют данные о динамике цен американского и английского биржевых индексов SP 500, FTSE 100, то для перекресного – они берут данные о ценах фондовой биржи Швейцарии MSCI и котировках швейцарского франка к доллару США. В итоге делается вывод о том, что копулы оказывают более эффективными при определении оптимального хеджирующего соотношения, причем гауссовская копула является таковой для операций прямого хеджирования, а копула Гумбеля – для перекресного.

В статье [Lay et al. (2009)] рассматриваются возможности применения копул к стратегиям хеджирования. Но в отличие от предыдущей работы [Hsu, Tseng, Wang (2007)], моделирование частных распределений основано на моделях T-GARCH, позволяющих улавливать разное влияние на волатильность от повышательных и понижательных движений исследуемой переменной.

Основываясь на ежедневных данных о котировках пяти индексов стран Юго-Восточной Азии и фьючерсов на них за период с 01.01.98 по 10.06.05, авторы делают вывод о преимуществе использования копул в хеджировании, поскольку это позволяет повысить среднюю доходность инвестиционного портфеля и снизить его вариацию по сравнению с традиционными методами определения оптимального хеджирующего соотношения. Подобно [Hsu, Tseng, Wang (2007)] в части моделирования прямого хеджирования, авторы отмечают, что особенно эффективной оказалась гауссовская копула и копула Стьюдента. Авторы отмечают также, что использование копул целесообразно на высоковолатильных рынках (например, Корея, Тайвань), тогда как на стабильных (например, Япония, Сингапур) традиционные стратегии, основанные на методе наименьших квадратов, оказываются достаточными.

Работа [De Michele C. et al. (2007)] посвящена моделированию параметров морских штормов. Исследуется совместное распределение таких характеристик шторма, как высота волны, продолжительность шторма, направление распространения шторма, период межштормового покоя. В основе исследования лежат данные о штормах, собранные за 12 лет с 1989 по 2001 гг. в районе Алжеро (Италия). Согласно критериям авторов за данный период они сформировали базу, насчитывающую 415 крупных штормок (с высотой волны больше 2 метров). Многомерного распределение оценивается параметрическим способом в три этапа. Вначале моделируются частные распределения: для оценки высоты волны используется распределение Гумбеля, для продолжительности шторма - экспоненциальное распределение, для периода покоя – распределение Парето, для направления распространения – смесь из двух бэта-распределений.

Качество подгонки проверено тестами Андресона-Дарлинга и Колмогорова-Смирнова. На втором этапе проводится оценка смеси попарных двумерных копул исследуемых четырех случайных величин. На основе тестов Андресона-Дарлинга и Колмогорова-Смирнова и дистанции до эмпирической копулы были выбраны копулы Али-Микаэля-Хака, Франка и Гумбеля. На третьем этапе проводится оценка четырехмерного совместного распределения путем иерархического вложения копул. Итогом работы стала оценка вероятности наступления как катастрофических штормов, так и штормов с определенными параметрами по средствам анализа линий уровня копул, что раньше оценивалось неадекватно вследствие нереалистической предпосылки о независимом распределении данных четырех параметров (в частности, авторами была отвергнута протестированная гипотеза о том, что совместного распределению исследуемых параметров наилучшим образом отвечает копула произведения).

В работе [Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. (2007)] сопоставляется эффективность параметрического и полупараметрического подхода к оценке копул. Исследование базируется на данных о расходах домохозяйств Австралии. Выбран двухлетний период с 1988 по 1989 гг.

Рассматривались два вида ежедневных расходов: на содержание жилища и прочие. Из трех архимедовых копул (Джое, Франка, Клэйтона) наиболее близкой к фактическому распределению оказалась копула Франка.

Авторы [Junker, Szimayer, Wagner (2003)] постарались спрогнозировать кривую доходности через применение копулы к моделированию инноваций, т.е. компоненты шума в модели временного ряда. В основе их исследования лежат ежемесячные котировки доходностей американских казначейских облигаций с 1982 по 2001 гг. Динамика временного ряда процентных ставок моделируется фильтром Калмана, тогда как к стандартизованным остаткам модели применяется копула.

Для проверки годности полученных моделей используется семь индикаторов:

тесты Андерсона-Дарлинга, Колмогорова-Смирнова, AIC, BIC, относительное отклонение плотности вероятности нижнего и верхнего хвостов распределений и общий критерий согласия

2. В итоге исследования авторы делают вывод, что обратная копула Франка дает лучшую подгонку модели к эмпирическим данным о динамике процентных ставок.

В работе [Пеникас Г.И., Симакова В.Б. (2008)] проводится анализ эффективности оценки границы потерь процентного риска на примере Сбербанка. В отличие от работы Юнкера и др.

[Junker, Szimayer, Wagner (2003)], в которой анализировались данные о процентных ставках американского рынка, здесь была рассмотрена динамика процентных ставок российского рынка (Моспрайм и ОФЗ). Наблюдения были взяты за двухлетний период 2007 – 2008 гг. В ходе копуламоделирования совместного распределения доходностей, отвечающих разным срокам заимствования, было выявлено, что наилучшую подгонку к фактическим данным дает копула Гумбеля, которая позволяет сделать вывод о том, что совместное движение процентных ставок носит асимметричный характер (ставки более склонны к одновременному росту, нежели к одновременному снижению).

В обширном обзоре, посвященным копулам [Cech (2006)], Кристиан Чек рассматривает взаимосвязь кредитного и процентного рисков облигаций. Для цели анализа используются дневные котировки номинированных в евро долговых инструментов за период 31.01.2000 по 15.09.2006. Совместное распределение двух рисков моделируется копулами Франка, Гумбеля, Клэйтона, Стьюдента, BB1 и гауссовской. Тесты, проводимые автором, указывают на то, что (1) частные распределения не нормальные, (2) совместное распределение негауссовское, а более отвечает форме связки, задаваемой копулой Стьюдента.

Обобщение исследований, посвященных применению копул в моделировании многомерных распределений, обобщено в таблице ниже. Необходимо заметить, что во всех работах авторы пришли к выводу, что многомерное распределение не является гауссовским: либо в части формы связки частных распределений (в таких случаях наилучшей оказывались копулы Гумбеля, Клэйтона, Франка), либо в части маргиналов (когда гауссовская копула или копула Стьюдента связывали такие негауссовские распределения как распределения Парето, бета и др).

–  –  –

4. Введение в теорию копул Модели «копула» получили активное распространение в западных исследованиях, после того как было показано, что стандартные меры взаимосвязи (например, корреляция Спирмена) не позволяют уловить фактические движения случайных величин, которые особенно ярко провились в кризисный период 2007 – 2009 гг. Поэтому вначале рассмотрим основные существующие меры зависимости случайных величин. Затем введем понятие копул, опишем основные семейства копул.

Подробнее остановимся на методах оценки многомерных распределений на основе копул и способах оценки качества полученных моделей.

Меры взаимосвязи, согласованности, ассоциативности Линейная корреляция Самым простым и распространенным параметром зависимости случайных величин является линейная корреляция Пирсона corr ( X ; Y ), недостатки которой широко обсуждаются р работе [Embrechts et al. (1999)].

Комонотонность Часто вместо корреляции Пирсона используют показатель согласованности случайных величин для определения характера их взаимозависимости. Так более сильным, чем коррелированность, индикатором зависимости двух случайных величин является показатель комонотонности.

Случайные величины называют комонотонными (comonotonic), если для них верно следующее:

–  –  –

где t, j соответствуют выбранным моментам времени.

Соответственно, величины называют обратно монотонными (counter-monotonic), если верно обратное.

–  –  –

К сожалению, комонотонность является более свойством многомерного распределения случайных величин, нежели мерой их зависимости, поскольку не позволяет упорядочить наборы случайных величин по степени их взаимосвязи.

Ранговая корреляция Преодолеть проблему зависимость от масштаба позволяют меры ассоциативности, к которым относятся коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена. Данные меры представляют собой аналог корреляции Пирсона в приложении не к исходам, а к вероятностям, соответствующим исходам.

Тау Кендалла

–  –  –

Ро Спирмена В отличие от коэффициент Кендалла корреляция по Спирмену предполагает наличие трех независимых случайных векторов ( X 1 ; Y1 ), ( X 2 ; Y2 ) и ( X 3 ; Y3 ), которые образованы случайными величинами X и Y с частными распределениями F и G и совместным распределением H.

–  –  –

Зависимость хвостов Менее распространенной, но достаточно информативной мерой ассоциативности является зависимость хвостов совместного распределения.

Индексы зависимости верхних ( U ) и нижних ( L ) хвостов определяются по следующей формуле в двумерном случае [Nelson, 2006, p. 214].

–  –  –

Где F и G – функции распределения непрерывных случайных величин X и Y, соответственно. Индикатор (-1) отмечает обратную функцию распределения. Таким образом, индекс зависимости верхних хвостов является условной вероятностью того, что случайная величина Y находится выше t-ого квантиля распределения функции G при условии, что X выше tого квантиля распределения функции F, когда t приближается к единице.

Определение копулы Пусть X 1 и X 2 - случайные величины, функции распределения вероятности которых определены на множествах A и B, соответственно. Будем обозначать i-ую реализацию j-ой случайной величины как x j (i ).

Вначале будем называть функцию C ( X 1, X 2 ) возрастающей по каждой переменной X 1 и X 2, если для нее выполняется следующее условие:

–  –  –

Определим подкопулу C ( X 1, X 2 ) как двумерную функцию двух переменных4 X 1 и X 2, определенную на таком множестве A B, что A [0;1] и B [0;1], с областью значений [0;1] и удовлетворяющую следующим условиям:

–  –  –

Копула – это подкопула в случае, когда A = [0;1] и B = [0;1]. Именно на данном этапе возможно применить копулы к моделированию совместных вероятностных распределений, поскольку вероятность любой случайной величины также принадлежит отрезку от нуля до единицы. Для соответствующего перехода воспользуемся теоремой Шкляра.

Теорема Шкляра Пусть H – совместная функция распределения двух случайных величин (x, y), которые имеют частные функции распределения F и G, соответственно. Тогда существует такая копула C, что для любого x, y, т.е.

–  –  –

Причем если функции F и G непрерывны, то копула C единственна; в противном случае, копула C может быть всегда определена на области значений F и G. Наоборот, если C – копула, а F и G - частные (маргинальные) функции распределения, то функция H, определенная выше, является функцией совместного распределения с аргументами F и G.

Таким образом, копула является вероятностью наступления совместного события для случайных величин, т.е. C ( X 1, X 2 ) = P ( X 1 x1 ; X 2 x2 ).

В актуарной же математике и ценообразовании сложных производных финансовых инструментов часто имеют дело с копулой ) дожития C ( X 1, X 2 ), которая определяется по следующей формуле:

) C ( X 1, X 2 ) = P ( X 1 x1 ; X 2 x2 ) = X 1 + X 2 1 + C ( X 1, X 2 ) (17) Несмотря на то, что согласно теореме Шкляра многомерное распределение всегда можно разложить на частные распределения и форму связи (копулу) при том, что в случае непрерывности частных распределений последняя будет единственной, необходимо принять во внимание замечание А.Маршалла, основоположника семейства копул Маршалла-Олкина. В своей статье [Marshall A. (1996)] он подчеркивает, что не всегда тип связки может быть отделен от частных распределений без потери существенной информации. Так он приводит примеры и утверждения в подтверждение своего соображения.

(1) Если копуле и входящим в нее частные распределения (маргиналы) свойственен один тип зависимости (например, в терминах зависимости хвостов или корреляции Кендалла), то он присущ и совместному распределению, построенному на основе этой копулы и этих маргиналов. Однако, обратное не всегда верно;

–  –  –

(3) Ранговая корреляция случайных величин определяется не только копулой, но и маргиналами;

(4) Ранговая корреляция случайных величин больше для большей (доминирующей) копулы.

–  –  –

Упорядоченность (доминирование). Копула C2 доминирует над копулой C1, или C1 p C2, в случае, когда для x1,..., xn верно C1 ( x1,..., xn ) C2 ( x1,..., xn ) ;

Многомерные копулы По аналогии с двумерной копулой можно определить многомерную копулу.

N-мерная копула – это функция, определенная на n-мерном единичном кубе [0;1]n с областью значений [0;1] и удовлетворяющая следующим условиям:

–  –  –

Несмотря на очевидность понятия многомерной копулы, архимедовы многомерные копулы сложны в построении и обладают тем недостатком, что стпень зависимости нескольких случайных величин определяют всего-навсего одним-двумя параметрами.

Методы оценки копул Параметрические (MLE, IFM) Данный класс методов предполагает параметризацию как частных распределений, так и копулы.

Если базовый подход MLE (Maximum Likelihood Estimation) предполагает максимизацию функции правдоподобия одновременно по маргинальным распределениям и по копуле, то метод «от маргиналов» (Inference for Margin – IFM) предполагает два этапа оценки: вначале – параметризация маргиналов, затем – копулы.

Полупараметрические (SP, CML) Полупараметрические методы также предполагают двухэтапную оценку копулы. Но на первом этапе вместо оценки маргиналов используется эмпирическое распределение. На втором же этапе происходит параметрическая оценка копулы.

В работе [Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. (2007)] показано, что полупараметрический метод (SP – semi-parametric) дает более состоятельные и устойчивый (робастные) оценки, чем параметрические методы в случаях, когда вид частного распределения не известен и, как следствие, возникает угроза их неверной спецификации. О ключевой роли оценки частных распределений в моделировании совместных распределений также отмечает Д.

Фантаццини [Fantazzini (2008)].

Непараметрические (Kernel, Empirical Copula) Среди непараметрических методов оценки копул можно выделить подходы на основе оценки эмпирической копулы и ядерных оценок.

Первый подход предполагает оценки функции распределения эмпирической копулы ij ( Cn (, ) ), которая отражает количество случаев, когда исходы случайных величин nn одновременно попали в выбранную ячейку сетки разбиения всего множества вероятностного пространства (подробнее см. [Nelsen, 2006, p. 219]).

Измерение качества подгонки копулы Наиболее распространенным критерием выбора оптимальной копулы является критерий на основе значения функции максимального правдоподобия – критерии Акаике (AIC) и Шварца (BIC). Вторыми по частоте применения являются тесты Колмогорова-Смирнова и АндерсонаДарлинга.Третьим является метод оценки дистанции до эмпирической копулы.

Тесты Колмогорова-Смирнова и Андерсона-Дарлинга основаны на принципе оценки «дистанции» между данными фактическими и полученными в ходе моделирования.В работе [Scaillet O. (2007)] показано, что для выбора копулы можно руководствоваться тестом на основе ядерных оценок. Но автором отмечается, что мощность данного теста оказывается не намного выше, чем тесты Крамера-фон-Мизеса или Колмогорова-Смирнова. Авторы [Kole, Koedijk, Verbeek, 2006, p. 7] отмечают, что если тест Колмогорова-Смирнова более чувствителен к отклонениям в центре распределения, то тест Андерсона-Дарлинга придает больший вес – в хвостах. В работе Анэ и Каруби [Ane, Kharoubi, 2003, p. 426] предложена интегральная версия теста Андерсона-Дарлинга.

В работе [Genest Ch., Remillard B. (2004)] предлагается тест для анализа качества подгонки копулы к фактическому совместному распределению и проверяющий, не является ли исходное многомерное распределение связкой независимых случайных величин. В таком случае если нулевая гипотеза оказывается верной, то совместное распределение моделируется копулой произведения (product copula). Сам тест предполагает выделение подмножеств из исходного распределения согласно декомпозиции Мёбиуса. В работе предлагается две модификации теста.

Первый вариант теста проверяет на независимость всевозможные комбинации случайных величин. Для каждой комбинации рассчитывается статистика и сравнивается с критическим значением (графическим представлением результатов данного теста является «диаграмма зависимости», или от англ. dependogram). Второй вариант теста основан на сравнении сумму уровней значимости распределения Фишера. Авторы показывают, что второй подход в целом является более мощным. Они также отмечают, что сам тест может быть успешно применен как к многомерным распределениям, так и к временным рядам. В работе [Remillard B., Scaillet O.

(2009)] авторы ставят целью сравнение структур зависимости пар двумерных наборов данных.

Для этого оцениваются уровни значимости для теста Крамера-фон-Мизеса, основанного на сопоставлении значений двух эмпирических копул. Авторы подчеркивают, что поскольку метод бутстрэпа не применим в случае теста Крамера-фон-Мизеса, оценка уровней значимости проводится на основе метода Монте-Карло.

Среди непараметрических методов оценки качества подгонки копул необходимо отметить метод бутстрэп. В статье [Nikoloulopoulos A., Karlis D. (2008)] описан подход выбора наилучшей копулы на основе метода бутстрэп, которые реализуется по следующему алгоритму.

(1) На фактических данных параметрическим методом оценивается несколько моделей «копул», из которых необходимо выбрать наилучшую. Значение функции максимального правдоподобия (МП) для каждой копулы сохраняется ( K );

–  –  –

Наилучшей признается копула, которой соответствует наименьшая дистанция от ее значения функции МП до всех значений, полученных методом бутстрэпа.

Авторы приходят к выводу, что тест хорошо работает, если истинная форма копулы (1) не предполагает наличия зависимости хвостов (в случае когда коэффициент корреляции Кендалла между входящими в копулу случайными величинами ниже 25%) или (2) предполагает ее (но при средних и больших значениях корреляции Кендалла). Отмечается, что повышение мощности теста, в частности, и эффективности поиска наилучшей копулы, в целом, можно добиться за счет увеличения размера выборки в случаях, когда такое возможно.

5. Используемые данные Для оценки валютного риска было использовано два типа данных: величина позиции под риском и динамика риск-факторов.

В качестве позиции под риском была выбрана открытая валютная позиция группы ВТБ5, подготовленная в соответствии с международными стандартами финансовой отчетности на 31.12.07. Была взята предпосылка о том, что позиция далее не изменялась. Тем не менее, предлагаемый в работе алгоритм оценки валютного риска позволяет его измерять ежедневно при наличии доступных и достоверных данных о валютной позиции банка.

Ниже представлена открытая валютная позиция группы ВТБ по самым существенным валютам, отличным от рубля:

USD – доллар США, EUR - евро, UAH – украинская гривна, AMD – армянский драм, BYR – белорусский рубль.

Источник: Консолидированная финансовая отчётность по состоянию на 31 декабря 2007 года, стр. 84 (http://www.vtb.ru/docs/_news/d6781/d6787/d6846/d8018/2007-VTB_IFRS_Report.pdf)

–  –  –

Вторым типом данных была динамика валютных курсов6, которые являются рискфакторами валютного риска. Вначале были взяты данные за последние три года (минимальный набор статистики, необходимый для оценки внутренних моделей, рекомендованный Базель II), динамика которых отражена ниже.

–  –  –

01.02.2006 20.08.2006 08.03.2007 24.09.2007 11.04.2008 28.10.2008 01.02.2006 20.08.2006 08.03.2007 24.09.2007 11.04.2008 28.10.2008

–  –  –

4 0,09 3 0,07 2 0,05 01.02.2006 20.08.2006 08.03.2007 24.09.2007 11.04.2008 28.10.2008 01.02.2006 20.08.2006 08.03.2007 24.09.2007 11.04.2008 28.10.2008

–  –  –

0,012 0,010 01.02.2006 20.08.2006 08.03.2007 24.09.2007 11.04.2008 28.10.2008

–  –  –

Ввиду очевидного слома тенденции в динамики всех курсов в середине 2008 года, был проведен тест Чоу, который не отверг гипотезу о том, что 30.06.2008 наблюдался структурный сдвиг во всех пяти моделях временных рядах. Также заметим, что у белорусского рубля явный структурный сдвиг еще и 02.01.2009. Поэтому далее рассматривался только период с 30.06.2008 по 31.03.2009 (274 точек). Ниже приведены описательные статистики использованных данных.

–  –  –

Стоит отметить основные наблюдения по таблице:

- коэффициент вариации показывает, что наибольший относительный разброс (наибольшая относительная вариабельность) у рядов евро и белорусского рубля; наименьший – у украинской гривны;

- статистика Jarque-Bera велика, что указывает на факт, что распределение негауссовское;

–  –  –

6. Методология исследования Временные ряды моделировались с помощью модели GARCH, тогда как остатки совместно моделировались моделью «копулы».

Методология исследования предполагала как оценку наилучшей копулы на всем наборе данных, так и проведение ретроспективного прогноза на последних 31 наблюдениях.

Алгоритм ретроспективного прогноза описан ниже.

–  –  –

• упорядочивается изменения ОВП на каждую дату прогноза;

• оценивается граница потерь ОВП на 95%-ой уровне значимости по копуле как квантиль соответствующего уровня значимости;

Авторами был проведен ретроспективный прогноз также с остальными копулами. Существенных отклонений в точности прогноза получено не было.

• сравнение полученные прогнозы с реальными изменениями ОВП из второго периода (бектестинг с 1 января 2009)

• добавление одного наблюдения из второй части в первую и пересчет прогноза.

7. Результаты эконометрического моделирования Лучшей по критериям AIC и BIC оказалась модель ar(1)+garch(1,1) с нормально распределенными остатками при моделировании логарифмированных доходностей временных рядов обменных курсов.

–  –  –

–  –  –

Из полученных регрессий извлечем остатки и нанесем их на график квантиль-квантиль в сравнении с t-распределением. Также приведем описательные статистики по остаткам (среднее, медиана, ст. отклонение, эксцесс)

–  –  –

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 3

–  –  –

-5

-10

-5

-15

-10

-20

–  –  –

Необходимо отметить, что если на графиках видно, что t-распределение плохо описывает хвосты для всех валют, то при этом тест не отвергает гипотезу о том, что остатки имеют t-распределение (p-value0.05).

Извлечем эмпирические предельные распределения и сравним их с оцененными по модели АR(1)+GARCH(1,1).

–  –  –

1.0 0.8 0.8 0.6

–  –  –

0.4 0.2 0.2

–  –  –

1.0 1.0 0.8 0.8 0.6

–  –  –

0.0

-10 -5 0 5 10 -20 -15 -10 -5 0

–  –  –

Рис. 4. Сравнение эмпирической и оцененной функций распределения по индивидуальным моделям.

Как видно из приводимых выше графиков, оцененные функции частных распределений недостаточно точно приближают эмпирические остатки. Поэтому в отличие от предыдущей работы авторов [Пеникас, Симакова (2009)] было принято решение рассмотреть не только полностью параметрический метод оценки копул, но и полупараметрический.

Для этого оценим методом максимального правдоподобия8 5-мерные копулы (нормальную (Сnorm), Стьюдента (Ct) (1, 3, 10 ст.своб.), Клэйтона (CClayton), Франка (CFrank) и Гумбеля (CGumbel)) для Т=215. Ниже приводятся значения параметров копулы и индекса зависимостей верхнего и нижнего хвостов распределений для каждой из копул.

Вначале приводится оценка для параметрического подхода (IFM), затем для полупараметрического (SP).

–  –  –

Получается, что копула Стьюдента с 3 степенями свободы лучше остальных.

Наблюдаемая при переходе от гауссовской (нормальной) копулы к копуле Стьюдента с одной степенью свободы немонотонность значений критериев Акаике и Шварца, является правдоподобной из-за свойств кумулятивной функции распределения Стьюдента. Таким образом, отметим важное свойство. Совместное многомерное распределение валютных курсов является симметричным, но с достаточно тяжелыми хвостами. Во-первых, на это указывает малое число степеней копулы Стьюдента. Во-вторых, сама копула Стьюдента в отличие от гауссовской характеризуется высоким индексом зависимости как верхних, так и нижних.

–  –  –

Для анализа качества построения гипотеза была протестирована гипотеза, что форма взаимосвязи распределения обменных курсов удовлетворяет копуле произведения с помощью теста, предложенного в работе [Genest Ch., Remillard B. (2004)]. Для проведения теста было проведено 10 тыс. симуляций. Далее приводится диаграмма зависимости, на которой точками отмечены критические значения, а столбцами (линиями) рассчитанные статистики по комбинации случайных величин.

Рис. 5. Диаграмма зависимости пяти рассматриваемых случайных величин.

–  –  –

Как видно из графика выше, двумерное распределение рассматриваемых случайных величин не удовлетворяет копуле произведения, т.е. пары случайных величин не являются независимыми. Тем не менее, странно, что тест не отвергает гипотезу независимости случайных величин при рассмотрении всех пяти переменных. Можно предположить, что тест указывает на желательность моделирования многомерного распределения иерархическим способом, т.е. путем вложения двумерных копул друг в друга.

Далее был проведен ретроспективный прогноз валютного риска, начиная с первого марта 2009 г. в середине периода постепенной девальвации рубля. Как видно из графика ниже, величина валютного риска согласно модели «копула» не превышала 500 млн. руб. и была пробита 3-4 раза на 5%-ом уровне значимости, тогда как законодательные требования завышали требования к обеспечению капиталом валютного риска в два раза (1.4 млрд. руб. согласно Базель II) и в четыре раза (2.2 млрд.руб. в соответствием с Банком России).

Изменение ОВП

-1000

-2000

-3000

–  –  –

Примечание: VaR по копуле – оценка модели Copula-GARCH параметрическим методом (IFM); emp.cdf оценка модели Copula-GARCH полупараметрическим методом (SP).

Необходимо отметить, что при управлении риском необходимо руководствоваться двумя критериями при определении адекватности получаемой величины риска. Вопервых, основным показателем является количество пробоев границы потерь, которое отвечает за степень недооцененности риска. Как видно из графика выше, законодательные требования отличаются тем, что они не допускают не одного пробоя. Но этот факт более характеризует требования как чрезвычайно консервативные, поскольку они не удовлетворяют второму критерию, который показывает степень переоценки риска. Им является точность ретроспективного прогноза, которую часто измеряют среднеквадратической ошибкой прогноза - RMSPE (см. например, [Пеникас (2008)],[Pooter, Ravazzolo, Van Dijk (2007)]). Сравнивая модели и подходы по второму критерию, становится очевидным, что законодательный подход неадекватно завышает величину риска (величина RMSPE в 4-7 раз выше для подхода соглашения Базель II и Банка России по сравнению с моделями «копула»).

Также предлагаем рассмотреть показатель среднеквадратической величины пробоя (Root Mean Squared Breach – RMSB), который определяется следующей формулой.

–  –  –

) Где yT + h|T r - оценка границы потерь по модели (ожидаемый убыток будет иметь знак минус) при прогнозе на h шагов вперед, начиная с момента T в течение t периодов;

–  –  –

Таким образом, исходя из критерия количества пробоев и среднеквадратической величины пробоя, наилучшей можно признать модель «копула», оцененную полупараметрическим способом. Сравнение законодательных требований с оценкой по копуле также указывает на адекватность оценки валютного риска, полученного в модели «копула» на основе метода SP.

–  –  –

В ходе анализа прикладной эффективности моделей «копула» в приложении к российским данным для целей управления валютным риском российского банка была выявлена особенность российских данных, которые требуют специального подхода при их моделировании.

Во-первых, валютные пары основных валют имеют симметрическое распределение относительно динамики российского рубля, т.е. все валютные пары склонны одновременно либо укрепляться, либо ослабевать относительно рубля. Данный вывод отмечает необходимость отдать предпочтение копуле Стьюдента, позволяющей улавливать ненулевую зависимость как верхнего, так и нижнего хвостов многомерного распределения, что невозможно при работе с традиционными моделями GARCH, предполагающих многомерную нормальность распределения.

Во-вторых, традиционные модели недостаточно точно улавливают характер частных распределений валютных рисков по отдельным валютным парам. Отметим, что даже при достижении качественной подгонки на выбранном временном горизонте, отсутствует гарантия высокой точности прогноза данной модели вне рассматриваемого интервала. Тем более, существует трудоемкость в ежедневной калибровке модели при ее применении в банке на регулярной основе. Поэтому для качественного прогноза величины валютного риска на российских данных необходимо использовать полупараметрический подход к оценке копул. Данный подход предпочтительнее параметрического как в терминах количества пробоев границы потерь (которые меньше), так и в терминах среднеквадратической величины пробоя.

В-третьих, была доказана адекватность модели «копулы» в терминах оценки валютного риска по сравнению с законодательными требованиями, которые дают чрезвычайно консервативные оценки.

9. Библиография

1. Положение ЦБ РФ № 313-П от 14 ноября 2007 г. «О порядке расчета кредитными организациями величины рыночного риска»

2. Положение ЦБ РФ № 215-П от 10 февраля 2003 г. «О методике определения собственных средств (капитала) кредитной организации»

3. Инструкция ЦБ РФ № 124-И от 15 июля 2005 г. «Об установлении размеров (лимитов) открытых валютных позиции, методике их расчета и особенностях осуществления надзора за их соблюдением кредитными организациями»

4. Алексеев В.В., Шоколов В.В., Соложенцев Е.Д. Логико-вероятностное моделирование портфеля ценных бумаг с использованием копул // Управление финансовыми рисками. 2006. №3. С. 272 – 283.

5. Пеникас Г. И. Прогнозирование кривой доходности в задачах управления активами и пассивами банка // Прикладная эконометрика. 2008. № 4 (12), С. 3 – 26.

6. Пеникас Г.И., Симакова В.Б. Управление процентным риском на основе копулыGARCH моделей // Прикладная эконометрика, № 1 (13), 2009, С. 3 – 36.

7. Фантаццини Д. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском // Прикладная эконометрика. № 2 (10). 2008, С. 91 – 137; № 3 (11), 2008, С. 87 – 122; № 4 (12), 2008, С. 84 – 138.

8. Ane Th., Kharoubi C. Dependence Structure and Risk Measure // Journal of Business.

2003. № 3 (76). P. 411 – 438.

9. Arnold T., Bertus M., Godbey J. A Simplified Approach to Understanding the Kalman Filter Technique // Engineering Economist. 2008. № 2 (53). P. 140 – 155.

10. Basel Committee on Banking Supervision (Базель II). International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. 2006.

11. Basel Committee on Banking Supervision (Дополнение к Базель I). Amendment to the Capital Accord to Incorporate Market Risks. Updated Version. 2005

12. Cech C. Copula-based top-down approaches in financial risk aggregation. University of Applied Sciences of bfi Vienna. Working Paper No. 32. 2006.

13. Cherubini U., Luciano E., Vecchiato W. Copula Methods in Finance. John Wiley & Sons Ltd. 2004.

14. Chollete L., Heinen A. Frequent Turbulence? A Dynamic Copula Approach. 2006.

http://ssrn.com/abstract=968923.

15. Clayton D. A Model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. Biometrica.

1978. № 65. P. 141 – 151.

16. Clemen R., Reilly T. Correlations and Copulas for Decision and Risk Analysis // Management Science. 1999. № 2 (45). P. 208 – 224.

17. Choudhry T., Wu H. Time-Varying Beta and Forecasting UK Company Stock Returns:

GARCH Models vs Kalman Filter Method. 2007. http://ssrn.com/abstract=963452.

18. Cook R. D., Johnson M. E. A family of distributions for modeling non-elliptically symmetric multivariate data. J. of the Royal Statistical Society. 1981. № 43. P. 210–18.

19. De Michele C., Salvadori G., Passoni G., Vezzoli R. A Multivariate Model of Sea Storms Using Copulas // Coastal Engineering. 2007. № 54. P. 734 – 751.

20. Duffie D., Kan R. A Yield-Factor Model of Interest Rates // Mathematical Finance. 1996.

№ 4(6). P. 376 – 406.

21. Embrechts P., McNeil A., Straumann D. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls. 1999.

http://www.math.ethz.ch/~strauman/preprints/pitfalls.pdf

22. Fantazzini D. The effects of misspecified marginals and copulas on computing the value at risk: A Monte Carlo study // Computational Statistics and Data Analysis. 2008.

doi:10.1016/j.csda.2008.02.002

23. Fantazzini D. Dynamic Copula Modelling for Value at Risk // Frontiers in Finance and Economics, 2009 (Forthcoming). http://ssrn.com/abstract=944172

24. Frank M. J. On the simultaneous associativity of F(x, y) and x_y_F(x, y). Aequationes Mathematica. 1979. № 19. P. 194–226.

25. Genest Ch., Remillard B. Tests of Independence and Randomness Based on the Empirical Copula Process // Test. 2004. № 2 (13). P. 335 – 369.

26. Gumbel E. J. Bivariate exponential distributions. J. of the American Statistical Association. 1960. № 55. P. 698–707.

27. Junker M., Szimayer A., Wagner N. Nonlinear Term Structure Dependence: Copula Functions, Empirics, and Risk Implications. 2003. http://ssrn.com/abstract=407240

28. Hsu Ch.-Ch., Tseng Ch.-P., Wang Y.-H. Dynamic Hedging with Futures: A Copula-based GARCH Model. 2007. http://ssrn.com/abstract=1083890

29. Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. Comparison of semiparametric and parametric methods for estimating copulas // Computational Statistics & Data Analysis. 2007. № 51.

P. 2836 – 2850.

30. Kole E., Koedijk K., Verbeek M. Selecting Copulas for Risk Management. 2006.

http://ssrn.com/abstract=920870

31. Laforge Ch. Construction of multivariate copulas and the compatibility problem. 2008.

http://ssrn.com/abstract=956041

32. Laforge Ch. M-Pivot copulas: Multivariate copulas defined on their 2-margins. 2008.

http://ssrn.com/abstract=977991

33. Lay Y., Chen C., Gerlach R. Optimal dynamic hedging via copula-threshold-GARCH

models // Mathematics and Computers in Simulation. 2009. doi:

10.1016/j.matcom.2008.12.010

34. Ling C.-H. Representation of associative functions. Publ. Math. Debrecen. 1965. № 12.

P. 189 – 212.

35. Longin F., Solnik B. Correlation Structure of International Equity Markets During Extremely Volatile Periods. Mimeo. Group HEC. 1998.

36. Marshall A. Copulas, Marginals, and Joint Distributions // Lecture Notes-Monograph Series. Distributions with Fixed Marginals ad Related Topics. 1996. № 28. P. 213 – 222.

37. Mikosch T. Copulas: Tales and Facts. 2005.

http://www.math.ku.dk/~mikosch/maphysto_extremes_2005/s.pdf

38. Morone M., Cornaglia A., Mignola G. Economic Capital Assessment via Copulas:

Aggregation and Allocation of Different Risk Types. 2007.

http://www.riskwhoswho.com/Resources/MignolaGiulio1.pdf

39. Nelsen R. An Introduction to Copulas. Second Edition. Springer. New York. 2006.

40. Nikoloulopoulos A., Karlis D. Copula Model Evaluation Based on Parametric Bootstrap // Computational Statistics and Data Analysis. 2008. № 52. P. 3342 – 3353.

41. Patton A. Modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence // International Economic Review. 2006. № 2 (47). P. 527 – 556.

42. Pooter M., Ravazzolo F., Van Dijk D. Predicting the Term Structure of Interest Rates.

Incorporating parameter uncertainty, model uncertainty and macroeconomic information.

2007. http://ssrn.com/abstract=967914

43. Remillard B., Scaillet O. Testing for Equality Between Two Copulas // Journal of Multivariate Analysis. 2009. № 100. P. 377 – 386.

44. Rosenberg J., Schuermann T. A General Approach to Integrated Risk Management with Skewed, Fat-Tailed Risks // Journal of Financial Economics. 2006. № 79. P. 569 – 614.

45. Savu C., Trede M. Hierarchial Archimedean Copulas. Working Paper. Institute of Econometrics. University of Munster. 2006.

46. Scaillet O. Kernel-based Goodness-of-fit Test For Copulas with Smoothing Parameters // Journal of Multivariate Analysis. 2007. № 98. P. 533 – 543.

47. Sklar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges. Publications de l’Institut de Statistique de l’Universite de Paris. 1959. № 8. P. 229–31.

48. Tang A., Valdez E. Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas.

Sydney. 2006. www.ica2006.com/Papiers/282/282.pdf Parametric and Semi-Parametric Approaches to Copula Modelling when Managing Foreing Exchange Risk of Russian Bank.

Penikas H., Simakova V.

The paper aims at investigating the practical efficiency of copula models application to Russian bank’s foreign exchange (FX) risk management purpose. Russian financial data peculiarity has revealed that semi-parametrically (SP) estimated copula performs better when back-testing because of the following issues: (1) multivariate FX risks distribution proved to posses heavy tails, (2) traditional approaches FX risk-management are quite imprecise when approximating marginal risk distributions. Thus, it is shown in the paper that copulas estimated via SP method enable to obtain an adequate FX risk measure compared to traditional approaches (that usually underestimate risk) and legislative requirements (that largely

Похожие работы:

«19. Сознание человеческого организма. Человеческий организм, являясь единичной материей Природы, единичной энергией Времени Света, обладает уникальным Сознанием, свойствами и структурой Времени Света.1) Время Света изначально ( импульс желания с информацией "Благодарить Бытию" ).2) Время Света циклично устремле...»

«ПУСТОТА. ЛЕКЦИЯ 6. Я счастлив снова вас видеть. Для того чтобы вы знали, как правильно использовать эту драгоценную человеческую жизнь, я буду давать вам сегодня драгоценное учение о пустоте. Возможно, в течение всех ваших предыдущих жизней вы не получали такого учения, хотя изучили множеств...»

«Электронный научно-образовательный журнал ВГСПУ "Грани познания". №1(35). Февраль 2015 www.grani.vspu.ru И.В. КРЮКОВА (Волгоград) ПРАГМАТОНИМЫ СОВЕТСКОГО ПЕРИОДА В ВЕРТИКАЛЬНОМ КОНТЕКСТЕ: ДИНАМИЧЕСКИЙ АСПЕКТ Наиболее известные прагматонимы (словесные товарные зна...»

«ЦИФРОВАЯ ФОТОКАМЕРА Подробное руководство пользователя Ru Благодарим Вас за приобретение цифровой фотокамеры Nikon. Чтобы наилучшим образом использовать все возможности фотокамеры, внимательно прочтите все инструкции и сохраните их в таком месте, где с ними смогут ознакомиться все пользова...»

«УДК 504.03(477.75) : 631.67 Соцкова Л. М. Развитие вторичных растительных Гаркуша Л. Я группировок и синантропизация флоры Присивашья под влиянием орошения Таврический национальный университет имени...»

«Всё о попугаях Илья Мельников Кормление попугаев "Мельников И.В." Мельников И. В. Кормление попугаев / И. В. Мельников — "Мельников И.В.", 2011 — (Всё о попугаях) ISBN 978-5-457-22506-0 Важнейшим условием для успешного содержания и разведения птиц является правильная организация их питания. Для этого необхо...»

«СОЦИАЛЬНО-РОЛЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ И ЦЕННОСТНЫЕ ОРИЕНТАЦИИ МОЛОДЫХ ПРЕСТУПНИКОВ ТИГРАН СИМОНЯН Для характеристики личности молодого преступника большое значение имеет изучение его роли и статуса в обществе. В социологической литературе отмечается, что сущность личности можно раскрыть сквозь призму т...»

«209880 206700 3180 Среднегодовая выработка, тыс. руб.: одного работающего 300 315 + 15 одного рабочего 375 384 +9 Среднедневная выработка рабочего, тыс. руб. 1,7045 1,8113 + 0,1068 Среднечасовая выработка рабочего 0,2144 0,2322 + 0,0178 П – средняя продолжительность рабочего дня, ЧВ – среднечасовая выработка раб...»

«УДК 347.771:65.011 Разработка модели организации процесса патентных исследований на предприятии ракетно-космической отрасли © Т.Г. Садовская, Н.А. Кашеварова МГТУ им. Н.Э. Баумана...»

«010206. Сегнетоэлектрик. Цель работы: экспериментальное определение основных параметров сегнетоэлектриков по петле гистерезиса.Требуемое оборудование: Стенд с объектами исследования С3-СЭ1 "Сегнетоэлектрик"; Генератор напряжений ГН1; Осциллограф ОЦЛ2. Краткое теоретическое введение Диэлектриками называют материалы, в которых нет свобо...»

«Система управления сайтами www.1c-bitrix.ru Варианты масштабирования интернет-проектов Используя разные конфигурации оборудования и продукт "1С-Битрикс: Управление сайтом", можно масштабир...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет Е.И. АРИНИН, Т.В. АНДРЯКОВА, Н.М. МАРКОВА ДИАЛОГ РЕЛИГИОЗНЫХ И НЕРЕЛИГИОЗНЫХ МИРОВОЗЗРЕНИЙ Курс лекций Владимир 2008 УДК 2(082.1) ББК 86я43 А81 Рецензенты: До...»

«CAMIO8 Мультисенсорное программное обеспечение для КИМ NIKON METROLOGY I VISION BEYOND PRECISION ПРЕИМУЩЕСТВА МУЛЬТИСЕНСОРНОГО CAMIO Проверенное для самых сложных областей применения, программное обес...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.