WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий Топология, лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа Миша Вербицкий 6 ...»

Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий

Топология, лекция 1: метрика,

пополнение, p-адические числа

Миша Вербицкий

6 апреля, 2008

матфак ВШЭ

Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий

Метрические пространства

Определение: Пусть M - множество. Метрикой на M называется функция d : M M R 0, удовлетворяющая следующим условиям

Невырожденность: d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.

Симметричность: d(x, y) = d(y, x) Неравенство треугольника: d(x, y) d(x, z) + d(z, y) для любых точек x, y, z M.

Метрика - математическая абстракция, отвечающая интуитивному представлению о расстоянии Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий Определение метрического пространства дал Морис Фреше в 1906-м году, в своей диссертации “Sur quelques points du calcul fonctionnel”.

Maurice Frchet e (1878 – 1973) Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий Последовательности Коши Определение: Пусть x M точка в метрическом пространстве. Открытый -шар B(x) в с центром в x - множество всех точек, отстоящих от

x меньше, чем на :

B(x) = {y M | d(x, y) } Определение: Пусть M - метрическое пространство. Последовательность {i} точек из M называется последовательностью Коши, если для каждого 0, все элементы последовательности {i}, кроме конечного числа, содержатся в некотором -шаре. Последовательности Коши {i}, {i} называются эквивалентными, если последовательность 0, 0, 1, 1,... является последовательностью Коши.



Не путать со сходимостью!

Все сходящиеся последовательности - последовательности Коши, но не все последовательности Коши сходятся.

Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий Сходящиеся последовательности Определение: Пусть M - метрическое пространство. Последовательность {i} точек из M сходится к x M, если в любом -шаре B(x) содержатся все члены {i}, кроме конечного числа. В этом случае также говорят, что x - это предел последовательности {i}. Метрическое пространство M называется полным, если у любой последовательности Коши есть предел.

Свойства последовательностей Коши и пределов:

1. Подпоследовательность последовательности Коши - снова последовательность Коши. Последовательность Коши эквивалентна любой своей подпоследовательности.

2. Если переставить элементы последовательности Коши {i} произвольным образом, получится последовательность Коши, эквивалентная {i}.

3. Предел последовательности единственный, если существует.

Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий Вещественные числа ПРИМЕР: Пример метрического пространства: множество R вещественных чисел, с метрикой d(x, y) = |x y|.

УПРАЖНЕНИЕ: Проверьте аксиомы метрического пространства.

УТВЕРЖДЕНИЕ: Если последовательность i R сходится к x, это последовательность Коши (проверьте).

ТЕОРЕМА: R полно: Любая последовательности Коши вещественных чисел сходится.

ЗАМЕЧАНИЕ: Можно считать, что это определение вещественных чисел.

–  –  –

Пополнение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Диаметр множества X M есть supx,yX d(x, y).

УТВЕРЖДЕНИЕ: Диаметр -шара не больше 2.

Из этого следует, что для любой последовательности Коши {i}, и любого x M, последовательность вещественных чисел {d(x, i)} – последовательность Коши в R.

Более того, для любых последовательностей Коши {i}, {i}, последовательность {d(i, i)} – тоже последовательность Коши (проверьте это).





–  –  –

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Множество классов эквивалентности последовательностей Коши в M с метрикой, определенной выше, называется пополнением M.

ТЕОРЕМА:

Пополнение является полным метрическим пространством.

УПРАЖНЕНИЕ: Проверьте аксиомы метрического пространства.

Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий Метрики на абелевых группах

–  –  –

Определение:

Пусть G - абелева группа, а d - метрика на G. Мы будем использовать обозначение x, y x + y для групповой операции в абелевых группах. Говорят, что (G, +, d) метрическая группа, если операция x x взятия обратного элемента есть изометрия, и операция x x+g есть изометрия для любого g G. В этом случае также говорят что метрика согласована с групповой структурой, или что метрика инвариантна.

Группа с инвариантной метрикой действует сама на себе изометриями

–  –  –

Задание инвариантных метрик через норму ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция : G R 0 называется нормой на группе если (i) (g) = (g), (0) = 0.

(ii) (g) 0 для любого g = 0.

–  –  –

Для любой нормы функция d (x, y) := (x y) задает метрику на G, согласованную с групповой структурой (проверьте это) Обратное тоже верно: все инвариантные метрики на G могут быть получены таким образом (проверьте!)

–  –  –

Пополнение группы с инвариантной метрикой Пусть A, B G - подмножества в группе. Множество всех сумм вида {a + b | a A, b B} обозначается A + B.

Сумма двух шаров радиуса, содержится в шаре радиуса +.

Поэтому множество C последовательностей Коши в метрической группе с операцией почленного сложения образует группу, а последовательности Коши, эквивалентные нулю - подгруппу C0 C этой группы.

ЗАМЕЧАНИЕ: Факторгруппа C/C0 изоморфна пополнению G.

СЛЕДСТВИЕ: Пополнение G – снова метрическая группа.

ПРИМЕР: Пополнение Q в обычной метрике есть R (это одно из определений R).

–  –  –

Нормирования на кольце Определение: Пусть A - кольцо, с ассоциативным, коммутативным умножением, а : A R 0 функция на A. Функция называется нормой (или нормированием) если 1. – это норма на группе A по сложению

2. мультипликативна: (xy) = (x)(y) Пример нормы: t |t| на Q, R или C.

Пример нормы: (t) = 0, если t = 0, и 1 в противном случае. Она мультипликативна на любом кольце без делителей нуля.

Кольцо с нормой наделено инвариантной метрикой, построенной по формуле d (x, y) = (x y).

ТЕОРЕМА: Пополнение кольца по этой метрике - снова кольцо.

Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий Вещественные числа ЗАМЕЧАНИЕ: Вещественные числа можно определить как пополнение рациональных. Чтобы избежать кольцевого аргумента, повторим определение метрического пространства, потребовав, чтобы метрика принимала значения в Q.

Определение: Пусть M - множество.

Q-Метрикой на M называется функция d : M M Q 0, удовлетворяющая следующим условиям:

Невырожденность: d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.

Симметричность: d(x, y) = d(y, x) Неравенство треугольника: d(x, y) d(x, z) + d(z, y) для любых точек x, y, z M.

Легко видеть, что d(x, y) := |x y| задает Q-метрику на Q.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пополнение Q есть множество классов эквивалентности последовательностей Коши в Q. Аргумент, аналогичный вышеприведенному, показывает, что пополнение Q является кольцом. Можно проверить, что это поле. Оно называется полем вещественных чисел, обозначается R.

Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий p-адические числа.

Зафиксируем простое число p.

Определение:

Пусть x Z представимо в виде x = px1, где x1 не делится на p, а Z 0.

Тогда p-адическая норма (x) равна p. Положим также (0) = 0.

Пополнение Z относительно такой нормы называется кольцом целых p-адических чисел, обозначается Zp.

Аналогичная конструкция, примененная к Q, даст пополнение Qp, которое называется полем p-адических чисел. Любое рациональное число a Q можно представить в виде a = p m, где n, m взаимно просты с p, а n целое число, однозначно заданное разложением числителя и знаменателя a на простые множители. Определим (a) := p.

–  –  –

Геометрически, неархимедовость значит следующее: любой треугольник в неархимедовом пространстве равнобедренный, и его основание меньше двух других сторон.

-шар с центром в любой точке B(a) совпадает с B(a). В неархимедовом пространстве, любая точка шара является его центром.

–  –  –

Арифметика p-адических чисел В любой группе с инвариантной метрикой, заданной нормой, ряд вида gi сходится, если сходится соответствующий ряд из норм (gi).

–  –  –

Если два целых числа a, b принадлежат -шару, с 2 pi, разность a b делится на pi. Поэтому их записи в p-ичной системе счисления совпадают вплоть до i-го знака.

Записав элементы последовательности Коши {i} целых чисел в p-ичной системе счисления, мы получим, что соответствующая последовательность цифр стабилизируется: на i-м месте, начиная с какого-то момента, стоит одна и та же цифра.

Топология, первый курс, второй семестр М. Вербицкий Арифметика p-адических чисел (продолжение)

–  –  –

Любое целое p-адическое число записывается в p-ичной системе счисления последовательностью цифр, бесконечной влево.

... 5402510251025410251405150162126161611102002020315610310 p-адические числа можно складывать и умножать в столбик, не забывая переносить переполнение в следующий регистр.

Похожие работы:

«Язык, сознание, коммуникация: Сб. статей / Ред. В.В. Красных, А.И. Изотов. – М.: Диалог-МГУ, 2000. – Вып. 12. – 148 с. ISBN 5-89209-585-1 Ещё раз о норме (норма звучащей речи английского языка в контексте международного общения) © Н. И. Гусева, 20...»

«УСЛОВИЯ ВЫПУСКА, ОБСЛУЖИВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАСЧЕТНЫХ БАНКОВСКИХ КАРТ ОАО "ВБРР" (ДОГОВОР НА ОТКРЫТИЕ БАНКОВСКОГО СЧЕТА, ВЫПУСК И ОБСЛУЖИВАНИЕ БАНКОВСКИХ КАРТ) 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1. Настоящие Условия определяют порядок выпуска, обслуживания и использования расчетных банковских карт ОАО "ВБРР" (далее – Карта), предостав...»

«рекламные кампании • IPA IPA 34 Рекламные Идеи № 5/2004 The Guardian: солидные нонконформисты Рекламодатель: британская газета The Guardian. Агентства: Claydon Heeley Jones Mason, London; DDB Matrix, London. Награ...»

«Лекция 17 Система оплаты и стимулирования труда в фармацевтических организациях План 1. Премирование трудовой деятельности.2. Режим рабочего времени.3. Учет рабочего времени.4. Методика начисления заработной платы аптечным...»

«АНТ И В И РУС НА Я СИ СТ Е М А ЗА Щ И Т Ы ПР Е ДПР И Я ТИ Я Содержание Современные вирусные угрозы Информационные ресурсы о современных вирусных угрозах Пути проникновения вирусных угроз в корпоративные сети Требования законодательства Российской Федерации в области антивирусной защиты. 14 Требования к организации антивирусной системы защиты...»

«ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2011, том 54, №7 ФИЗИОЛОГИЯ РАСТЕНИЙ УДК 581.11.633 А.Эргашев, член-корреспондент АН Республики Таджикистан А.Абдуллаев, К.Иброхимов, Ю.Кобилов ВЛИЯНИЕ КЛИМАТООБРАЗУЮЩИХ ФАКТОРОВ НА ВОДООБМЕН ЛИСТЬЕВ ПШЕНИЦЫ Институт ботаники, физиологии и генетики растений АН Республики Таджикис...»

«Руководство издателя SAP BusinessObjects Enterprise SAP BusinessObjects Enterprise XI 3.1 Service Pack 3 Авторские © 2010 SAP AG. Все права защищены.SAP, R/3, SAP NetWeaver, Duet, права PartnerEdge, ByDesign, SAP Business ByDesign и другие упомянутые здесь продукты и услуги SAP, а также с...»

«Арктика и Север. 2013. № 11 1 УДК [316.35+316.334+316.811+1:316](045) CЕМЕЙНЫЕ ЦЕННОСТИ И СОЦИАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ МОЛОДЫХ РОДИТЕЛЕЙ В СОВРЕМЕННОМ ОБЩЕСТВЕ FAMILY VALUES AND SOCIAL EDUCATION OF YOUNG PARENTS IN THE MODERN SOCIETY © Федулова Анна Борисовна, кандидат философских наук, доцент кафедры социальной работы и социальной безопасности и...»

«Анализ многолетних рядов NOAA/AVHRR/NDVI и гидрометрических условий южной части Казахского мелкосопочника П.A. Пропастин 1, Н.P. Муратова 2 Insitute of Geography, Georg-August University Goldschmidtstrasse, 5, 37075, Goettingen, Germany E-mail: ppavel@gmx.de Институт космических исследований МОН Республики Казах...»

«УПРАВЛЕНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЙ НАЛОГОВОЙ СЛУЖБЫ ПО Г. МОСКВЕ НЕ СОГЛАСНЫ С НАЧИСЛЕННЫМ НАЛОГОМ ПО КВАРТИРЕ, АВТОМОБИЛЮ, ЗЕМЕЛЬНОМУ УЧАСТКУ – ОБРАЩАЙТЕСЬ В ИНСПЕКЦИЮ Уважаемые налогоплательщики! Вместе с налоговым уведомлением и платежными документами н...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.